2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Опровержение гипотезы Билла
Сообщение03.12.2019, 17:27 


24/01/16
5
Утверждается, что если равенство
a^x + b^y = c^z (1)
при натуральных $x, y, z$ больших $2$,
является верным для натуральных значений $a, b, c$ то эти числа имеют общий простой делитель.
Обозначим общий простой делитель как $q_1
Тогда a = a_1q_1^{s_1}, b = b_1q_1^{s_2}, c = c_1q_1^{s_3}, где
$a_1, b_1 и c_1$ не имеют этого общего простого делителя q_1.
Кроме того, s_1s_2s_3 \neq 0 и s_1, s_2, s_3 определены однозначно.
Равенство (1) примет вид
(a_1q_1^{s_1})^x + (b_1q_1^{s_2})^y = (c_1q_1^{s_3})^z, или
q_1^{s_1x}(a_1)^x + q_1^{s_2y}(b_1)^y = q_1^{s_3z}(c_1)^z (2)

Между натуральными числами s_1x, s_2y, s_3z возможны следующие соотношения:
a) Все три числа разные, тогда между ними есть наименьшее. Пускай, для определенности, это число s_1x
(если s_2y – то это не изменит вывода).
Поделим (2) на q_1^{s_1x}
(a_1)^x + q_1^{s_2y - s_1x}(b_1)^y = q_1^{s_3z - s_1x}(c_1)^z, или
(a_1)^x = q_1^{s_3z - s_1x}(c_1)^z - q_1^{s_2y - s_1x}(b_1)^y (3)
так как s_3z - s_1x \neq 0 и s_2y - s_1x \neq 0, то правая часть (3) делиться на q_1, а левая – нет. Противоречие.
Если меньшим является число s_3z,то поделим (2) на s_3z
q_1^{s_1x - s_3z}(a_1)^x + q_1^{s_2y - s_3z}(b_1)^y = (c_1)^z (4)
так как s_1x - s_3z \neq 0 и s_2y - s_3z \neq 0,то левая часть (4) делиться на q_1, а правая - нет. Противоречие.
Случай а) является невозможным.

б) Между числами s_1x, s_2y, s_3z есть два равных.
Пусть s_1x = s_2y, а s_3z < s_1x
Делим (2) на q_1^{s_3z}
q_1^{s_1x - s_3z}(a_1)^x + q_1^{s_2y - s_3z}(b_1)^y = (c_1)^z (5)
так как s_1x - s_3z \neq 0 и s_2y - s_3z \neq 0, то левая часть (5) делиться на q_1, а правая - нет. Противоречие.
Если s_3z > s_1x, то делим (2) на q_1^{s_1x}
(a_1)^x + (b_1)^y = q_1^{s_3z - s_1x}(c_1)^z (6)
s_3z - s_1x \neq 0 Правая часть (6) делиться на q_1, а левая - нет. Противоречие.
Если s_3z = s_1x, а s_2y < s_1x, то делением (2) на q_1{s_2y} получим
q_1^{s_1x - s_2y}(a_1)^x + (b_1)^y = q_1^{s_3z - s_2y}(c_1)^z, или
(b_1)^y = q_1^{s_3z - s_2y}(c_1)^z - q_1^{s_1x - s_2y}(a_1)^x (7)
s_3z - s_2y \neq 0 и s_1x - s_2y \neq 0
Левая часть (7) не делиться на q_1, а правая делиться. Противоречие.
Если s_3z = s_1x, а s_2y > s_1x, то делением (2) на q_1{s_1x} также получим такое же противоречие.
Если s_2y = s_3z, то аналогичные рассуждения приводят к тому же противоречию.
Случай б) невозможен.

с) Все три числа равны s_1x = s_2y = s_3z = s, тогда (2) примет вид
q_1^s(a_1)^x + q_1^s(b_1)^y = q_1^s(c_1)^z, или a_1^x + b_1^y = c_1^z
Таким образом, тройка чисел a_1, b_1, c_1 есть решение уравнение (1) при тех же x, y, z.
При этом a_1, b_1, c_1 имеют другие общие делители q_1, q_2, \ldots, q_n,
то последовательно повторяя предыдущие рассуждения для каждого из них, придем к выводу:
Если натуральные числа a, b, c имеют общие простые делители и удовлетворяют равенство (1), то существуют взаимно простые числа
a_n, b_n, c_n, что удовлетворят уравнение (a_n)^x + (b_n)^y = (c_n)^z, при тех же x, y, z.
Предположим теперь, что числа a, b, c взаимно простые и удовлетворяют равенство (1).
Пусть q_1, q_2, \ldots, q_n - разные простые числа.
Умножив равенство (1) на (q_1, q_2, \ldots, q_n)^{xyz} получаем следующее
(q_1, q_2, \ldots, q_n)^{xyz}a^x + (q_1, q_2, \ldots, q_n)^{xyz}b^y = (q_1, q_2, \ldots, q_n)^{xyz}c^z, или
(q_1^{yz}, q_2^{yz}, \ldots, q_n^{yz}a)^x + (q_1^{xz}, q_2^{xz}, \ldots, q_n^{xz}b)^y = (q_1^{xy}, q_2^{xy}, \ldots, q_n^{xy}c)^z
Таким образом три натуральные числа q_1^{yz}, q_2^{yz}, \ldots, q_n^{yz}a, q_1^{xz}, q_2^{xz}, \ldots, q_n^{xz}b
и q_1^{xy}, q_2^{xy}, \ldots, q_n^{xy}c, имеющие n простых общих делителей (в частном случае n = 1,
также удовлетворяют (1) при тех же значениях x, y, z.
Гипотеза опровергнута.

ps. Креатив не мой, писался с рукописи, так что возможны ошибки в формулах.
Автор попросил выложить.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опровержение гипотезы Билла
Сообщение03.12.2019, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
$7^3 + 7^4 = 14^3$, и $7, 7, 14$ имеют общий делитель. А вы "доказали", что общего делителя быть не может. Ищите ошибку.

Плюс ваше рассуждение не является опровержением гипотезы Била даже чисто формально. Гипотеза Била состоит в том, что общий делитель есть всегда, а вы доказываете, что его нет никогда. Чтобы из этого доказательства получить опровержение гипотезы Била, нужно еще доказать, что вообще есть хотя бы одно решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опровержение гипотезы Билла
Сообщение04.12.2019, 19:33 
Заслуженный участник


12/08/10
1296
artez в сообщении #1428726 писал(а):
$(a_1)^x + (b_1)^y = q_1^{s_3z - s_1x}(c_1)^z $(6)
$s_3z - s_1x \neq 0$ Правая часть (6) делиться на $q_1$, а левая - нет. Противоречие.

Вот это вот неправда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group