Проверка на комплексные корни

[maravan]

Доброго времени суток.

Задался вопросом, как можно исследовать такого рода функции на предмет существования комплексных корней?

a_0 \sin \left(b_0 x\right)+a_1 \sin \left(b_1 x\right)+a_2 \sin \left(b_2 x\right),a_n,b_n\in \mathbb{R}

Пробовал пойти по пути разложения в ряд и потом использовать известные методы для полиномов: Штурма, Эрмита, Хатчинсона:

1. J. I. Hutchinson, On a Remarkable Class of Entire Functions , Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 3 (Jul., 1923), pp.325-332.
2. [BPR03] S. Basu, R. Pollack, and M.-F. Roy. Algorithms in real algebraic geometry, volume 10 of Algorithms and Computation in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
3. [HJ95] R. A. Horn and C. R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

Получается, но сложно.

Есть ли простые способы для ответа на вопрос?

[mihiv]

Чисто мнимые корни можно искать с помощью формулы: $\sin iy=i\sh y$.

[maravan]

Не понял, что это даст?

mihiv, это понятно, что обычный синус и гиперболический связаны таким соотношением, как дальше мысль развить?

[mihiv]

$x=iy$. А дальше ищете корни функции действительной переменной $y$:

$$a_0\sh b_0y+a_1\sh b_1y+a_2\sh b_3y =0$$

[maravan]

mihiv в сообщении #1428636 писал(а):

$x=iy$. А дальше ищете корни функции действительной переменной $y$:

$$a_0\sh b_0y+a_1\sh b_1y+a_2\sh b_3y =0$$

Хорошо, тогда с вашими преобразованиями, мой вопрос переформулируется так: каким способом быстро показать, что для приведенного вами уравнения не существует действительных корней?

[mihiv]

Для конкретного набора параметров $a_i,b_i$ никаких проблем нет, обратитесь, например, к тому же Вольфраму.

[iifat]

maravan в сообщении #1428626 писал(а):

$a_0 \sin \left(b_0 x\right)+a_1 \sin \left(b_1 x\right)+a_2 \sin \left(b_2 x\right),a_n,b_n\in \mathbb{R}$

maravan в сообщении #1428626 писал(а):

методы для полиномов

Так вот ты какой, полином...

[Padawan]

maravan в сообщении #1428626 писал(а):

задался вопросом, как можно исследовать такого рода функции на предмет существования комплексных корней?

$a_0 \sin \left(b_0 x\right)+a_1 \sin \left(b_1 x\right)+a_2 \sin \left(b_2 x\right),a_n,b_n\in \mathbb{R}$

Уточните
1) соизмеримы ли числа $b_0$, $b_1$, $b_2$, т.е. кратны ли они какому-либо действительному числу $c$?
Если так, то ваше уравнение сводится к уравнению $P(e^{icx})=0$, где $P$ - многочлен. Найдя его корни, сможем найти соответствующие значения $x$.
2) определить наличие комплексных корней надо в какой-то области $D\subset\mathbb C$ или во всей комплексной плоскости?

[DeBill]

maravan
Расписав синусы через экспоненты, получим задачу о нулях целой функции (суммы шести экспонент).
1. Поскольку 0 не является исключительным значением ее, то теорема Пикара дает: нулей (комплексных) бесконечно много.
2. Показатель роста этой целой функции равен 1. Для таких функций есть какие-то общие (слабенькие) результаты о их нулях.
3. Но функция то вполне конкретная. Можно оценить ее на прямых $\operatorname{Im} x =C $ , и показать, что все ее нули - в полосе $\left\lvert \operatorname{Im} x\right\rvert < C$ для некоторого достаточно большого $C$.
4. О количестве нулей. В вещественном случае, когда коэф-т при старшей гармонике $b_2$ больше суммы модулей двух других, школьная теорема "про даму с собачкой" говорит: на участке длины $L$ находится (типа) $\frac{L\cdot b_2}{\pi}$ корней. В общем случае, для соизмеримых $b_n$, рассуждение Padawan, 1) дает то же (применительно к участку указанной выше полосы): решая уравнение

Padawan в сообщении #1428708 писал(а):

$P(e^{icx})=0$, где $P$ - много

, получим $e^{icx}=z_k$, где $z_k$ - корень $P$; это дает несколько серий решений, с той же самой, типа, асимптотикой для их количества.
При отсутсвии соизмеримости, хочется думать, что асимптотика - такая же, но как делать - сразу сказать затрудняюсь (Возможно, будет полезен принцип аргумента - в соединении с оценками функции на горизонтальных кусках границы полосы)....

[maravan]

Padawan в сообщении #1428708 писал(а):

maravan в сообщении #1428626 писал(а):

задался вопросом, как можно исследовать такого рода функции на предмет существования комплексных корней?

$a_0 \sin \left(b_0 x\right)+a_1 \sin \left(b_1 x\right)+a_2 \sin \left(b_2 x\right),a_n,b_n\in \mathbb{R}$

Уточните
1) соизмеримы ли числа $b_0$, $b_1$, $b_2$, т.е. кратны ли они какому-либо действительному числу $c$?
Если так, то ваше уравнение сводится к уравнению $P(e^{icx})=0$, где $P$ - многочлен. Найдя его корни, сможем найти соответствующие значения $x$.
2) определить наличие комплексных корней надо в какой-то области $D\subset\mathbb C$ или во всей комплексной плоскости?

1. Несоизмеримы и не кратны, да, в принципе, как я писал выше, нет проблем разложить результирующую функцию в ряд и к ней примнеить известные алгоритмы, результат получается, но не очень просто.
2. Во всей комплексной области.

[novichok2018]

Разложить в ряд - не метод для исследования числа нулей. У конечных частичных сумм полно нулей, не факт что так будет и у функции. Например, у частичных сумм экспоненты полно нулей, а у самой функции нет.

[jekyl]

У таких функций, нули даже не в полосе, а в некотором смысле прижаты к действительной оси, если не ошибаюсь конечно.

[DeBill]

jekyl
Если соизмеримость есть , и к-т при старшей гармонике (наибольшем из $b_n$) не самый большой - то точно в полосе, не на оси (или ее "узкой" окрестности)...