Дифференциальное уравнение 1-го порядка

[Zorroko]

Помогите найти общее решение уравнения.
$y'= \frac {x+y} {x-y}$
Могу предположить, что данное уравнение является однородным, и требуется произвести замену переменной $\frac {y} {x}=t$ (так написано в методическом пособии)
Но какие преобразования нужно для этого выполнить мне не понятно...

[Henrylee]

Zorroko писал(а):

Но какие преобразования нужно для этого выполнить мне не понятно...

Ну и подставляйте в уравнение вместо $y'$ и $y$ результаты замены.

[V.V.]

y(x)=xt(x).

А преобразования: подстановка и взятие производной.

[Zorroko]

Спасибо. С заменой вроде разобрался.
У меня получилось следующее равенство:
$\int dx$=$\int \frac {1-t} {1+t^2}dt$
возникла проблемма с взятием интеграла по dt. Какой способ интегрирования может здесь подойти?

[Brukvalub]

Разделите почленно числитель на знаменатель, первый интеграл - табличный, во втором занесите t под дифференциал.

[AD]

Brukvalub писал(а):

Разделите почленно числитель на знаменатель

Не без помощи телепатии я понял, что имеется ввиду $\frac{1-t}{1+t^2}=\frac{1}{1+t^2}-\frac{t}{1+t^2}$

[Brukvalub]

AD писал(а):

Не без помощи телепатии я понял, что имеется ввиду $\frac{1-t}{1+t^2}=\frac{1}{1+t^2}-\frac{t}{1+t^2}$

А сначала Вы, конечно, попытались применить общеизвестное тождество:

\[ \frac{{a + b}}{{c + d}} = \frac{a}{c} + \frac{b}{d} \]

[Zorroko]

Если я правильно понял, решение будет таким?

$\int \frac {dt} {1+t^2} = arctg t$
$\int \frac {t} {1+t^2}dt = \int \frac {d(\frac {t^2} {2})} {1+2\frac {t^2} {2}} = \int \frac {dz} {1+2z} = \frac {1} {2} \int \frac {dz} {\frac {1} {2} +z} = \frac {1} {2} ln( \frac {1} {2} +z)+c = \frac {1} {2} ln( \frac {1} {2} + \frac {t^2} {2}) +c$

[Brukvalub]

Да.

[Zorroko]

2 Brukvalub: огромное спасибо за помощь
2 AD: большое спасибо за разъяснение