2 вопроса из абсолютной геометрии

[vpb]

Gagarin1968 в сообщении #1428543 писал(а):

vpb, у Вас нет такого чувства?

Да как сказать ... Вообще говоря, нет. Но судя по тому, что в книжке Атанасяна эта задача помещена после первой главы, у утверждения есть (по мнению Атанасяна) более простое доказательство.

Gagarin1968 в сообщении #1428566 писал(а):

мне пришла в голову мысль, что утверждение "медианы треугольника пересекаются в одной точке" эквивалентно аксиоме параллельности. Я прав?

Нет, не правы. На плоскости Лобачевского они тоже пересекаются. Но это сложный факт. И высоты, в остроугольном треугольнике, тоже. Что довольно неожиданно.

[Gagarin1968]

arseniiv в сообщении #1428615 писал(а):

Gagarin1968 в сообщении #1428543 писал(а):

Вот это самое "ultra parallel" и есть русское "расходящиеся"?

Да, хотя оно пишется слитно.

arseniiv
Вообще-то в вышеупомянутой книге

Gagarin1968 в сообщении #1428543 писал(а):

Faber "Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry" 1983 года

"ultra parallel" везде написано раздельно. Но книга довольно старая.
Хотя да, Вы правы, проглядел сейчас несколько статей, написано слитно. Например, здесь.
Однако же в той же Википедии есть и раздельная версия. А ещё в паре мест встретил "ultra-parallel". Так что выводы делайте сами.

vpb в сообщении #1428625 писал(а):

Gagarin1968 в сообщении #1428566 писал(а):

мне пришла в голову мысль, что утверждение "медианы треугольника пересекаются в одной точке" эквивалентно аксиоме параллельности. Я прав?

Нет, не правы. На плоскости Лобачевского они тоже пересекаются.

vpb
А на евклидовой плоскости эквивалентно?

[vpb]

Gagarin1968 в сообщении #1428685 писал(а):

А на евклидовой плоскости эквивалентно?

На евклидовой плоскости и то, и другое утверждение верно. Вообще (см. книжку Атанасяна, пар.8) вопрос об эквивалентности ставится так. Говорим, что какое-то утверждение П эквивалентно аксиоме параллельных, если из аксиом абсолютной геометрии плюс аксиомы параллельных выводится П, а из тех же аксиом абсолютной геометрии плюс П выводится, наоборот, аксиома параллельных. Т.е. вопрос "эквивалентно ли П аксиоме параллельных на евклидовой плоскости" --- вообще некорректен.

Или скажем еще более общо. Допустим, у нас есть некоторые теории, оперирующие одними и теми же понятиями, но с разными наборами аксиом. Тогда про любые два утверждения А и Б, которые формулирутся в этих понятиях, можно спросить, эквивалентны ли они применительно к данному множеству теорий, или нет ? Т.е. выводятся ли они друг из друга, если учитывать только то множество аксиом, которые справедливы во всех этих теориях ? А если задана одна конкретная теория, то спрашивать, эквивалентны ли для нее А и Б, смысла нет. Можно только спросить, верны ли А и Б в этой теории ?