2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Модулярная арифметика-3
Сообщение28.11.2019, 19:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Пусть $p>2$, $q>1$ --- целые числа, причем $\gcd{(p-1,q)}=\gcd{(p,q)}=1$. Положим $r=(p-1)^{-1} \bmod{q}$ и $s=q^{-1} \bmod{(p-1)}$. Докажите, что $(1-rq^{-1}) \bmod{p}=(q^{-1}-s) \bmod{p}$.

P.S. Надеюсь, что данное утверждение не совсем очевидно и тянет на задачу в олимпиадном разделе. (К слову: начинается сезон районных/муниципальных школьных олимпиад.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Модулярная арифметика-3
Сообщение29.11.2019, 13:59 


02/04/18
240
Не то, что бы совсем-совсем очевидно, но все же доказательство очень и очень прямолинейное.
Не люблю модули, поэтому избавился от них сразу - и сразу все стало более чем наглядным.

(Оффтоп)

Пользуясь тем, что данные числа взаимно просты, мы можем домножать выражения под знаком модуля на $q$ или $p-1$, с взаимнооднозначным соответствием. Тогда равенства по модулю сводятся к условиям делимости:
$(1)(r(p-1)-1)\vdots q; r<q $
$(2)(sq-1) \vdots (p-1); s<p-1 $
Доказать:
$(3)(q-r+sq-1) \vdots p$
Очевидно, что если это выполняется, то так же выполняется и
$(3')(q+r(p-1)+sq-1) \vdots p $

Рассмотрим сумму
$r(p-1)+sq-1$

Из выражений (1), (2) следует, что она делится и на $q$, и на $p-1$. Но так как это взаимно простые числа, оно делится на их произведение: $r(p-1)+sq-1=Nq(p-1)$, где N - натуральное число.

Но при этом (см. неравенства в (1), (2)) $Nq(p-1)=r(p-1)+sq-1<q(p-1)+(p-1)q-1=2q(p-1)-1$
Следовательно, $N=1$
Таким образом, $q+r(p-1)+sq-1=q+q(p-1)=qp$. А это выражение, очевидно, делится на $p$.
Следовательно, (3') выполняется. Тогда выполняется и (3)
$\qed$

 Профиль  
                  
 
 Re: Модулярная арифметика-3
Сообщение29.11.2019, 14:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dendr в сообщении #1428141 писал(а):
но все же доказательство очень и очень прямолинейное
Да, согласен.

Сама задача возникла в результате того, что другую задачу удалось решить двумя разными способами. Полученные ответы внешне не совпадали, и потребовалось некоторое усилие, чтобы установить их совпадение явным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модулярная арифметика-3
Сообщение04.12.2019, 19:06 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #1428069 писал(а):
Положим $r=(p-1)^{-1} \bmod{q}$ и $s=q^{-1} \bmod{(p-1)}$.

Когда два числа обращаются по модулю друг друга, это сразу наводит на мысль о Китайской теореме об остатках. В данном случае она даёт:
$$(p-1)r+qs\equiv 1\pmod{(p-1)q}.$$
Ну а из определения $r$ и $s$ становится понятно, что
$$(p-1)r+qs = 1 + (p-1)q,$$
откуда всё и следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модулярная арифметика-3
Сообщение04.12.2019, 19:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #1428859 писал(а):
Когда два числа обращаются по модулю друг друга, это сразу наводит на мысль о Китайской теореме об остатках.
И с этой точки зрения задача становится очевидной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group