Поиск функции распределения

[jeanedit]

На отрезке [0,1] можно выбрать такое семейство подмножеств $\Gamma$, образующих $\sigma$-алгебру, что оно будет содержать все промежутки,а на нем корректно определить значения вероятности так, что вероятность промежутка будет его длиной.

Рассмотрим получившееся вероятностное пространство. На нем зададим случайную величину $\xi$, определенную по формуле

$$\begin{cases} 1,&\text {при $\omega\in[0,\frac{1}{2})$;}\\ 2\omega^2,&\text{при $\omega\in[\frac{1}{2},1]$.}\\ \end{cases}$$

Найдите функцию распределения $\xi$.
Я так понимаю, что если бы не было вот этой самой константы, то получилась бы функция распределения, которая задавалась бы через корень квадратный,а вот как учесть эту самую константу в функции что-то совсем не понял.

[arseniiv]

Ну и поделите множество значений на кусок $[\frac12; 1)$, кусок $\{1\}$ и кусок $(1; 2]$, и можно будет определить функцию распределения частями.

[jeanedit]

arseniiv в сообщении #1427859 писал(а):

Ну и поделите множество значений на кусок $[\frac12; 1)$, кусок $\{1\}$ и кусок $(1; 2]$, и можно будет определить функцию распределения частями.

А вот как это сделать корректно? Я решаю эту задачу в онлайн курсе и пока ни одно из моих решений не подошло, чего-то я все-таки недопонимаю и хотелось бы разобраться.

[Xaositect]

Тут надо просто аккуратно расписать все из определений. Что такое функция распределения?

[jeanedit]

Xaositect в сообщении #1427865 писал(а):

Тут надо просто аккуратно расписать все из определений. Что такое функция распределения?

Можете показать какой-нибудь из участков, потому что я по всей видимости это делаю неправильно

[arseniiv]

Ну вот начнём: $F(x) = \Prob(\xi < x) = \ldots$ и тут как раз самое время разветвиться на три промежутка для икса, которые я выше записал.

-- Вт ноя 26, 2019 22:01:15 --

Ну или хотя бы условные вероятности $\Prob(\xi < x\mid x\in I,\xi\in I)$ найдите для каждого из тех промежутков $I$. После этого записать вероятность неравенства будет легче.

[jeanedit]

arseniiv в сообщении #1427879 писал(а):

Ну вот начнём: $F(x) = \Prob(\xi < x) = \ldots$ и тут как раз самое время разветвиться на три промежутка для икса, которые я выше записал.

-- Вт ноя 26, 2019 22:01:15 --

Ну или хотя бы условные вероятности $\Prob(\xi < x\mid x\in I,\xi\in I)$ найдите для каждого из тех промежутков $I$. После этого записать вероятность неравенства будет легче.

А как подсчитать вероятности на этих промежутках?

[arseniiv]

По определению. $\Prob(\xi\in X) \equiv \Prob(\xi^{-1}(X))$. Например $\Prob(\xi\in\{1\})$ получится равным $\frac12$.

[--mS--]

А почему бы не нарисовать график функции $\xi(\omega)$ и графически не определить при каждом $x$ множество

$$\{\omega\in[0,1]\,:\,\xi(\omega)<x\}?$$

Найти его вероятность и получить ответ?

[jeanedit]

--mS-- в сообщении #1427890 писал(а):

А почему бы не нарисовать график функции $\xi(\omega)$ и графически не определить при каждом $x$ множество

$$\{\omega\in[0,1]\,:\,\xi(\omega)<x\}?$$

Найти его вероятность и получить ответ?

На самом деле я так и пытаюсь решить задачу, но получаю неправильные ответы постоянно. То что вероятность в точке $\xi$=1 равна $\frac{1}{2}$ я понял. А что будет на промежутке [$\frac{1}{2}$,1) не могу определить. Обратная функция в данном случае $\sqrt{\frac{x}{2}}$, также как и на промежутке (1,2], но из каких соображений получать сдвиги? Ступор что-то с пониманием этого.

-- 26.11.2019, 22:15 --

arseniiv
--mS--
Xaositect

Всем большое спасибо, задачу решил)