Базис векторного пространства.

[Sdy]

Так как в решебнике к книге доказательство от моего отличается, хотел бы удостовериться, верно ли я его проделал.
Утверждение.
Пусть $U$ и $W$ - подпространства векторного пространства $V$, такие что $V = U \oplus W$, кортеж $(u_1,...,u_m)$ является базисом $U$, кортеж $(w_1,...,w_n)$ - базис $W$, тогда кортеж $(u_1,...,u_m, w_1,..., w_n)$ является базисом $V$.
Доказательство.
Так как $V = U \oplus W \Rightarrow \forall v \in V v = u +v = (a_1u_1+...+a_mu_m) + (b_1w_1+...+b_nw_n)$, то есть получаем, что $(u_1,...,u_m,w_1,...,w_n)$ порождает $V$.
Осталось доказать, что любое такое представление для конкретного $v \in V$ единственно.
Предположим противное:

$v=a_1u_1+...+a_mu_m + b_1w_1+...+b_nw_n=a_1'u_1+...+a_m'u_m + b_1'w_1+...+b_n'w_n \Rightarrow (a_1-a_1')u_1+...(a_m-a_m')u_m = (b_1'-b_1)w_1+...+(b_n'-b_n)w_n$

. У нас слева от знака равенства - какой-то элемент $U$, справа - какой-то элемент $W$, значит это элемент, лежащий в их пересечении, но так как $V=U \oplus W$, это может быть только нулевой элемент. Но $(u_1,...,u_m)$ и $(w_1,...,w_n)$ - базисы соответствующих подпространств, а значит эти векторы линейно независимы и в последнем равенстве все коэффициенты равны нулю, а значит $\forall v \in V$ есть только одно представление в виде линейной комбинации векторов $(u_1,...,u_m,w_1,...w_m)$, и значит этот кортеж является базисом $V$. $\triangle$

[Утундрий]

Munin в сообщении #1427698 писал(а):

Что-то тут не так

Вы приняли прямую сумму за обычную.

[Xaositect]

Munin, не надо путать человека. $\oplus$ это прямая сумма. Доказательство Sdy правильное.

[mihaild]

Sdy, выглядит разумно. А какое доказательство в учебнике - через мощности?

[Sdy]

mihaild, Xaositect, спасибо за проверку.

mihaild в сообщении #1427704 писал(а):

А какое доказательство в учебнике - через мощности?

Нет, там на самом деле идейно всё также, только вместо того чтобы доказать, что этот кортеж порождает $V$ и при том каждый элемент представим единственным образом, доказывают, что этот кортеж линейно независим и при этом порождает $V$, то есть там идёт доказательство прямо по определению, дающемуся в учебнике. Я же захотел для разнообразия попробовать подключить единственность, так как предыдущие задачи и так решал "по определению базиса".