2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Устойчивость крутящегося шара
Сообщение23.11.2019, 19:57 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
К поверхности однородного шара массы $M$ радиуса $r$ припаяна точечная масса $m$. Шар ставят на горизонтальную совершенно шероховатую плоскость так, что масса $m$ оказывается на максимальной высоте. Потом шар закручивают вокруг вертикальной оси до угловой скорости $\omega$. При каких значениях $\omega$ такое верчение шара вокруг вертикальной оси устойчиво в линейном приближении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение24.11.2019, 20:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ну вот. По крайней мре теперь ни у кого нет претензий к постановке задачи :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение25.11.2019, 18:03 


04/06/13
35
Что-то мне подсказывает, что если обозначить 2/5 в выражении $I=(2/5)Mr^2$ буквой $\beta$, а $m/(m+M)$ буквой $\alpha$, то

$\displaystyle\omega>\frac{2\Omega}{\alpha(1-\beta)+\beta}\sqrt{\alpha(2-\beta)+\beta}$,

где $\Omega=\sqrt{g/r}$. Но не факт, где-то мог ошибиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение25.11.2019, 19:01 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
$$\omega^2>\frac{20mg(7M+20m)}{r(7M+10m)^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение25.11.2019, 22:42 


04/06/13
35
В числителе в своем выражении точно упустил $\sqrt{\alpha}$:

$\displaystyle\omega>\frac{2\Omega\sqrt{\alpha}}{\alpha(1-\beta)+\beta}\sqrt{\alpha(2-\beta)+\beta}$.

В результате оно преобразуется к такому:

$\displaystyle \omega^2>\frac{20mg(2M+10m)}{r(2M+5m)^2}$.

С Вашим не совпадает. Буду разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 08:43 


04/06/13
35
Ошибся в расчете момента силы реакции плоскости. Окончательный ответ

$\displaystyle \omega > \frac{2\Omega\sqrt{\alpha}}{\beta(1-\alpha)+1+\alpha}\sqrt{\beta(1-\alpha)+1+3\alpha} $

при $\beta=2/5$, $\alpha=m/(m+M)$ и $\Omega=\sqrt{g/r}$ совпадает с приведенным выше ответом pogulyat_vyshel:

$\displaystyle\omega^2>\frac{20mg(7M+20m)}{r(7M+10m)^2}$.

Для другого сферически симметричного распределения массы $M$ следует взять свой соответствующий ему безразмерный момент инерции $\beta$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 14:42 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
https://youtu.be/V7hGcLU_wlY

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 17:52 
Заслуженный участник


21/09/15
998
А почему тогда ответ не совпадает с тем, что приведен в книге, которую вы рекомендуете?
Я пытался решить, но не справился. Пошел читать учебник, но там ответ, вроде, другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 17:57 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
о какой книге речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 18:01 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Болотин, Карапетян, Кугушев, Трещев

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 18:47 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
В этой книге устойчивость исследуется честно: устойчивость решения по Ляпунову в нелинейной системе, и для этого используются нетривиальные факты из динамики и из ОДУ, а я предложил то, что не требует ни каких специальных знаний окромя стандартных курсов:
pogulyat_vyshel в сообщении #1427362 писал(а):
устойчиво в линейном приближении


-- 30.11.2019, 19:49 --

Поэтому мое неравенство должно быть слабее чем у Карапетяна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 19:41 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Ну что-ж, судя по всему не у одного меня задача вызвала затруднения.
Подсказки не будет?
Я старался делать все честно, уравнения для импульса, для момента, кинематика.
Реакция опоры и скорость выражаются через угловую скорость $\vec{\omega}$ и вектор от центра шара до $m$ - назовем его $\vec{R}$
Далее - линеаризация, оставляю только величины первого порадка по $\Delta\vec{\omega}, $ $\Delta\vec{R}$.
Смотрю при каких параметрах существуют экспоненциально возрастающие решения.
И не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 19:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
В итоге у вас должна получиться система из шести дифуров на компоненты вектора угловой скорости и вектора единичной нормали к плоскости -- компоненты всех векторов в главных центральных осях инерции связанных с телом. Реакция опоры выражается из теоремы о движении центра масс и подставляется в теорему об изменении кинетического момента. Ускорение центра масс выражается через угловую скорость и ее производную путем дифференцирования по времени условия непроскальзывания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение30.11.2019, 21:15 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Спасибо, буду искать ошибку

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивость крутящегося шара
Сообщение02.12.2019, 18:58 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
еще посмотрите Ламб "Теор механика" том 3

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group