"Disentanglement theorem" для алгебры su(1,1)

[Gickle]

В квантовой оптике есть утверждение, носящее имя "disentanglement theorem", которое заключается в следующем:

Рассмотрим алгебру $\mathfrak{su}(1,1),$ генераторы которой удовлетворяют

$$ [K_1,K_2] = -i K_3, \quad [K_2,K_3] = i K_1, \quad [K_3,K_1] = i K_2. $$

Введём также обозначение $K_{\pm} = K_1 \pm i K_2,$ так что

$$ [K_3,K_{\pm}] = \pm K_{\pm}, \quad [K_{+},K_{-}] = -2 K_0. $$

Тогда

$$ \exp\left(-2i K_2 r\right) = \exp\left(-\tanh(r) K_{+}\right) \exp\left\lbrace\left[\ln\left(1 - \tanh^2(r)\right) \right] K_3\right\rbrace \exp \left(\tanh(r) K_{-} \right). $$

Я знаю, как доказать это утверждение в матричном представлении, но, по идее, оно должно выполняться в любом представлении $\mathfrak{su}(1,1).$ Можно ли как-то доказать это утверждение, используя лишь коммутационные соотношения?

Вот моя попытка:

Пусть $\left[X,Y\right] = u X + v Y + c I$, тогда, согласно arXiv:1501.02506 [math-ph],

$$ \mathrm{e}^{X} \mathrm{e}^{Y} = \exp\left\lbrace X + Y + f(u,v)\left[X,Y\right]\right\rbrace, $$

где

$$ f(u,v) = \frac{(u-v)\,\mathrm{e}^{u+v} - \left(u\, \mathrm{e}^{u} - v\, \mathrm{e}^{v}\right)}{uv\left(\mathrm{e}^{u}- \mathrm{e}^{v}\right)}. $$

В частности, если $\left[X,Y\right] = v Y$, то

$$\mathrm{e}^{X} \mathrm{e}^{Y} = \exp\left(X + \frac{v}{1 - e^{-v}} Y\right), \eqno (\ast)$$

и аналогично, если $\left[X,Y\right] = u X$,

$$\mathrm{e}^{X} \mathrm{e}^{Y} = \exp\left(Y + \frac{u}{1 - e^{-u}} X\right).$$

Вернёмся опять к

$$A \equiv \mathrm{e}^{-\tanh{(r)}K_+}\,\mathrm{e}^{K_3[\log(1-\tanh^2(r))]}\,\mathrm{e}^{\tanh(r)K_-} $$

и введём следующие обозначения:

$$a = \tanh{(r)}, \quad b = \log(1-\tanh^2(r)), $$

так что

$$A = \mathrm{e}^{-a K_{+}} \mathrm{e}^{b K_3} \mathrm{e}^{a K_{-}}.$$

Далее,

$$\left[b K_3, a K_{-}\right] = -ab K_{-} \ \stackrel{(\ast)}{\longleftrightarrow} \ X = b K_3, \ Y = a K_{-}, \ v = -b,$$

откуда

$$A = \exp\left(-a K_{+}\right) \exp\left(b K_3 - \frac{a b}{1 - \mathrm{e}^b} K_{-}\right). $$

И тут я надеялся опять увидеть, что коммутатор даёт линейную комбинацию, однако

$$ \left[-a K_{+},b K_3 - \frac{a b}{1 - \mathrm{e}^b} K_{-}\right] = a b K_{+} - \frac{a^2 b}{1 - \mathrm{e}^b} K_3,$$

что у меня выразить в виде

$$u\left(-a K_{+} \right) + v \left(b K_3 - \frac{a b}{1 - \mathrm{e}^b} K_{-}\right),$$

не получается, даже используя связь между $a$ и $b$. Я ещё пробовал изначально разбить произведение на два "подпроизведения", то есть

$$A = \mathrm{e}^{-a K_{+}} \mathrm{e}^{b K_3/2} \mathrm{e}^{b K_3/2} \mathrm{e}^{a K_{-}},$$

вычислить "левый и правый куски", а потом уже посчитать их произведение, но тоже какая-то фигня получается...

[Slav-27]

Gickle в сообщении #1427188 писал(а):

Я знаю, как доказать это утверждение в матричном представлении, но, по идее, оно должно выполняться в любом представлении $\mathfrak{su}(1,1).$ Можно ли как-то доказать это утверждение, используя лишь коммутационные соотношения?

Пусть $F:G\to H$ гомоморфизм групп Ли, $f:g\to h$ -- соответствующий гомоморфизм алгебр Ли (то есть $f=dF(1)$). Тогда $F(\exp x)=\exp f(x)$ для любого $x$ из $g$ (это следует из единственности однопараметрической подгруппы с заданным касательным вектором в единице). Поэтому достаточно доказать для какого-нибудь точного представления, а это вы говорите, что умеете.

Кстати, $SU(1,1)$ изоморфна $SL(2,\mathbb R)$, и поэтому вещественная алгебра Ли $su(1,1)$ изоморфна $sl(2,\mathbb R)$, а её комплексификация, соответственно, изоморфна комплексной алгебре $sl(2,\mathbb C)$ -- алгебре углового момента.

-- 25.11.2019, 13:59 --

Здесь $\exp$ обозначает экспоненциальное отображение алгебры Ли какой-то группы Ли в эту группу Ли. Для подгрупп групп $GL(n,\mathbb R)$ и $GL(n,\mathbb C)$ это обычная матричная экспонента.