Лемма Яна Мозера

[kkapitonets]

Английские коллеги молчат, может соотечественники помугут?

Прошу помочь разобраться с условиями леммы, вопрос ниже.

Вместе с теоремой:

Пусть

$S(a,b)=\sum_{0<a<n<b<2a}{n^{it}}, b\le \sqrt{\frac{t}{2\pi}}$

(1.2) $|S(a,b)|<A(\Delta)\sqrt{a}t^{\Delta}, 0<\Delta<\frac{1}{6}$

тогда существуют корни нечетного порядка функции

(1.3) $Z'(t)=0$
в интервале

(1.4) $(T,T+T^{\Delta}\psi(T))$

где $\psi(T)$ произвольно медленно увеличивающаяся функция неограниченная сверху $T\to\infty$ (например $\psi(T)=\ln\ln ... \ln T$)

in https://arxiv.org/abs/1303.0967 Ян Мозер доказал формулу:

(2.2) $Z'(t)=-2\sum_{n<P_0}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\ln{\frac{P_0}{n}}\sin(\vartheta-t\ln{n})+O(T^{-1/4}\ln{T})$

где

$t\in[T,T+H], H\in(0,\sqrt[4]{T}], P_0=\sqrt{\frac{T}{2\pi}}$

и лемму:

Пусть последовательность $\tilde{t}_{\nu}$ определена формулой

(2.3) $\vartheta(\tilde{t}_{\nu})=\pi\nu+\frac{\pi}{2}, \nu\in\mathbb{N}$

Если $T^{\Delta}=o(H)$, например

(2.6) $H=T^{\Delta}\psi(T)$

тогда

(2.7) $\sum_{T\le \tilde{t}_{2\nu}\le T+H}{Z'(\tilde{t}_{2\nu})}=-\frac{1}{4\pi}H\ln^2{\frac{T}{2\pi}}+O(T^{\Delta}\ln^2{T}),$

$\sum_{T\le \tilde{t}_{2\nu+1}\le T+H}{Z'(\tilde{t}_{2\nu+1})}=\frac{1}{4\pi}H\ln^2{\frac{T}{2\pi}}+O(T^{\Delta}\ln^2{T})$.

Вопрос заключается в следующем интервал $T\le \tilde{t}_{2\nu}\le T+H$ может содержать несколько точек $\tilde{t}_{2\nu}$, но, видимо, мы можем выбрать такое значение $\Delta$ что этот интервал будет содержать только одну точку $\tilde{t}_{2\nu}$.

Тоже самое верно для точек $\tilde{t}_{2\nu+1}$.

Означает ли эта лемма, что влюбой точке $\tilde{t}_{2\nu}$

$Z'(\tilde{t}_{2\nu})<0$

и в любой точке $\tilde{t}_{2\nu+1}$

$Z'(\tilde{t}_{2\nu+1})>0$?

Или мы не можем по какой-то причине рассматривать интервал $T\le \tilde{t}_{2\nu}\le T+H$ с одной точкой $\tilde{t}_{2\nu}$ и интревал $T\le \tilde{t}_{2\nu+1}\le T+H$ с одной точкой $\tilde{t}_{2\nu+1}$?

Примечание

$Z'(t)$ первая производная функции Харди:

$Z(t)=\zeta(1/2+it)e^{i\vartheta(t)}$

где

$\vartheta(t)=-\frac{Arg \chi(1/2+it)}{2}=\frac{t}{2}\ln{\frac{t}{2\pi}}-\frac{t}{2}-\frac{\pi}{8}+O(t^{-1})$.