Упаковки

[geomath]

Скажу сразу, что про упаковки я знаю мало, поэтому и спрашиваю. А все, что я здесь напишу, - это мои выдумки.

Рассмотрим абстрактное пространство и его заполнение абстрактными телами. Плотность заполнения (долю заполненного пространства от всего пространства) обозначим k, это эффективность заполнения, его кпд. Возьмем теперь некоторое уравнение

f(k, D) = 0,

где D назовем размерностью заполнения пространства с плотностью k. Пусть это уравнение однозначно разрешимо по k и по D для любых 0 < k < 1 и любых D > 0. Возможно, эта размерность наведет нас на какие-то мысли.

В качестве примера рассмотрим заполнение обычного 3-мерного пространства обычными одинаковыми шарами. А в качестве указанного уравнения возьмем уравнение

$k^{D+2} + k^{D} + k - 1 = 0$.

И выпишем k (с 4 знаками), которые соответствуют небольшим целым и полуцелым D, указанным в скобках:

0.3440 (1/2),
0.4534 (1),
0.5213 (3/2),
0.5698 (2),
0.6071 (5/2),
0.6369 (3),
0.6615 (7/2),
0.6823 (4),
0.7002 (9/2),
0.7158 (5),
0.7295 (11/2),
0.7418 (6).

Жирным я выделил те k, для которых я знаю упаковки с близкими плотностями (тоже округленными до 4 знаков), когда каждый шар касается соответственно 6, 8, 8, 10 и 12 соседей:

0.5236 - простая кубическая шаровая упаковка,
0.6046 - простая гексагональная,
0.6802 - объемно-центрированная кубическая,
0.6981 - объемно-центрированная тетрагональная,
0.7405 - плотнейшая.

Других плотностей (упаковок) я не знаю, но из оставшегося меня больше всего интересует случай k(2) = 0.5698, выделенный коричневым. Спрашивается, какой упаковке он соответствует?

P.S. В принципе упаковка с k = 4/7 = 0.5714 и D = 2.0 мне известна, но она абстрактная, не шаровая. Я потом ее приведу.

[geomath]

Есть такое понятие: размерность - важнейшее, на мой взгляд. Однако народ почему-то боится или стесняется его использовать. Целые размерности еще используются, а дробные - только в специальных случаях. Я же призываю использовать их почаще и пошире - поскольку они способны вызывать полезные ассоциации. Лично для меня размерность - это просто отношение двух логарифмов. Не очень даже важно - логарифмов чего. Например, как выше,

$D = \frac {\log \frac{1 - k}{1 + k^2}}{\log k}$.

Ведь отношение логарифмов не зависит от их основания - уже одно это неплохо.

[maxal]

см. http://mathworld.wolfram.com/SpherePacking.html

[ddn]

Во-первых: упаковки в пространствах нецелой размерности не имеют смысла, такие простанства либо существуют формально (по ним проводят интегрирование), либо они есть фракталы которые существенно неоднородны и отличаются друг от друга характеристиками плотнейших упаковок.
Во-вторых: плотность $k$ плотнейшей упаковки шаров зависит от $D$ существенно иначе, нежели $k^{D+2} + k^{D} + k - 1 = 0$.
Она убывает быстрее экспоненты при росте размерности, то есть стремится к $0$ при $D\to+\infty$, а не стремится к $1$ как у Вас.