задача на уравнение Пелля.

[N1508]

Уравнение (Пелля) $y^{2} = Ax^{2}+1$ в натуральных числах.
Известно, что $A =114^{{115}^{116}}+123462$
Найти точное значение (нетривиальное) $x$ в виде любого выражения, содержащего только цифры (числа) и математические действия: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Ответ обосновать.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: авторское решение есть.

[wrest]

Пока идёт подбор, напишу что мы знаем об $A$
$A=114^{115 \cdot 116}+123462=(2\cdot 3 \cdot 19)^{13340}+2\cdot 3^2 \cdot 19^3=114(114^{13339}+1083)=2\cdot 3^2 \cdot 19^3(1+2^{13339}\cdot3^{13338}\cdot 19^{13337})=123462 \cdot (1+12\cdot 114^{13337})$

$A \equiv 0 \pmod 7$

$115 \cdot 116 = 13340 = 2^2 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29$

$115 \cdot 116 - 1=13339 $ и $115 \cdot 116 - 3 = 13337$ -- простые-близнецы

[worm2]

wrest, нет, всё хуже. Там, где вы пишете $115\cdot 116$, должно быть $115^{116}$.

[wrest]

А, то есть $114^{{115}^{116}}=114^{\left(115^{116}\right)}$ а не $(114^{115})^{116}}$ ?

Неочевидно, но раз вы говорите...

Тогда подбор (у меня) идёт не туда. С такими числами компьютер справиться не сможет, только клочок бумажки...

[worm2]

Да, обычно, когда степенную башню выписывают, имеют в виду порядок вычислений сверху вниз.

[wrest]

Тогда мне пока только удалось проверить что $A$ не квадрат (две последние цифры в десятичной записи $86$) и соответственно -- нетривиальные решения есть.

[N1508]

wrest в сообщении #1427157 писал(а):

Тогда подбор (у меня) идёт не туда. С такими числами компьютер справиться не сможет, только клочок бумажки...

Число A специально выбрано "страшное", так, чтобы никакой "подбор" был принципиально невозможен.
Да и программы не помогут. Я не большой специалист, но мне кажется, с этой задачей и суперкомпьютер не справится.
У числа A период как минимум порядка $100^{100}$. Можно представить себе, какие числа будут при вычислении подходящих дробей.
Впрочем, это не так важно.
Решение явно не в этом направлении. Во всяком случае, точно могу сказать, что при составлении задачи я ставил целью сделать подбор невозможным.

wrest в сообщении #1427176 писал(а):

Тогда мне пока только удалось проверить что $A$ не квадрат (две последние цифры в десятичной записи $86$) и соответственно -- нетривиальные решения есть.

Остатки можно было не вычислять. $114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат. Следующий по порядку квадрат будет $114^{{115}^{116}}+2 \cdot114^{\left115^{58}\right}+1$ Очевидно, что нашему числу до него очень далеко.

[wrest]

N1508 в сообщении #1427266 писал(а):

Остатки можно было не вычислять. $114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат.

Как это? $115^{116}$ на два не делится...

[N1508]

wrest в сообщении #1427267 писал(а):

N1508 в сообщении #1427266 писал(а):

Остатки можно было не вычислять. $114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат.

Как это? $115^{116}$ на два не делится...

Да уж...
Я, скорее всего, тоже "башни" не так посмотрел. Подумал, что "конструкция" в четной степени (116)
Приношу извинения за небрежность. А смысл именно в том и был, что "башня" - полный квадрат. Без этого решения не будет.
Если можно, считайте, что $А = 114^{{114}^{116}}+123462$. Теперь, надеюсь, "башня" - точно квадрат - это критически важно в задаче.
Еще раз извиняюсь, что заставил решать нерешаемое.

[nnosipov]

N1508 в сообщении #1427266 писал(а):

$114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат.

Вот смотрел я вчера-позавчера на эту задачу и недоумевал --- что за ерунда, как такое может быть (я имею в виду оригинальное условие задачи). А тут, оказывается, вот где собака порылась. С квадратом-то очевидно будет, не надо пугать народ этими жуткими степенными башнями.

[N1508]

nnosipov в сообщении #1427284 писал(а):

N1508 в сообщении #1427266 писал(а):

$114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат.

Вот смотрел я вчера-позавчера на эту задачу и недоумевал --- что за ерунда, как такое может быть (я имею в виду оригинальное условие задачи). А тут, оказывается, вот где собака порылась. С квадратом-то очевидно будет, не надо пугать народ этими жуткими степенными башнями.

1. Я извинился перед теми, кого испугал "башнями".
2. Согласен, задача совсем не сложная, но хотелось поучаствовать в обсуждении.
3. На всякий случай, чтобы избежать недопонимания: параметр A содержит полный квадрат в виде "башни", но он еще содержит слагаемое 123462 и в итоге не является полным квадратом.
Это я - вдруг кто-то подумает, что задача не имеет решения из-за того, что коэффициент в уравнении Пелля - полный квадрат. Такая задача была бы просто неприличной для серьезного форума.
Т.е. еще раз (после исправления)$A = 114^{{114}^{116}} + 123462$ - это точно не полный квадрат и уравнение имеет нетривиальные решения, одно из которых предлагается найти.
И еще раз - в чем моя ошибка, которую я пытаюсь исправить: "башня" $114^{{114}^{116}}$ - как слагаемое коэффициента A должна быть полным квадратом (не сам коэффициент!) - иначе предложенная задача не имеет авторского решения.

Задача еще раз в исправленном виде (в "башне" заменил 115 на 114):

Уравнение (Пелля) $y^{2} = Ax^{2}+1$ в натуральных числах.
Известно, что $A =114^{{114}^{116}}+123462$
Найти точное значение (нетривиальное) $x$ в виде любого выражения, содержащего только цифры (числа) и математические действия: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Ответ обосновать.

[nnosipov]

N1508 в сообщении #1427293 писал(а):

но хотелось поучаствовать в обсуждении

Окей, давайте пообсуждаем. Первое, о чем я подумал: не поискать ли для Вашего $A$ представление в виде $t^2d^2+t$ или $t^2d^2+2t$. Для таких $A$ минимальное решение уравнения Пелля $x^2-Ay^2=1$ выписывается в явном виде. Вы этот трюк имели в виду?

[N1508]

nnosipov в сообщении #1427296 писал(а):

N1508 в сообщении #1427293 писал(а):

но хотелось поучаствовать в обсуждении

Окей, давайте пообсуждаем. Первое, о чем я подумал: не поискать ли для Вашего $A$ представление в виде $t^2d^2+t$ или $t^2d^2+2t$. Для таких $A$ минимальное решение уравнения Пелля $x^2-Ay^2=1$ выписывается в явном виде. Вы этот трюк имели в виду?

Почти так.
Собственно:
1. Перебор и численные методы исключаем ("башни" только для этого)
2. Остается методом исключения только одно - применить формулу для частных случаев уравнения Пелля к данной задаче.
Ваши два случая мне, честно говоря, не известны ввиду отсутствия высшего математического образования. Хотя смысл их мне понятен.
Формулу, которую я имел ввиду я выводил сам. Но, не сомневаюсь, в теории она известна и применить ее здесь будет несложно, учитывая, что:
$114=2\cdot3\cdot19$
$123462=2\cdot3^{2}\cdot19^{3}$
Это практически весь замысел задачи. Осталось ее только решить...