2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 задача на уравнение Пелля.
Сообщение21.11.2019, 12:06 


20/11/19
13
Уравнение (Пелля) $y^{2} = Ax^{2}+1$ в натуральных числах.
Известно, что $A =114^{{115}^{116}}+123462$
Найти точное значение (нетривиальное) $x$ в виде любого выражения, содержащего только цифры (числа) и математические действия: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Ответ обосновать.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.11.2019, 13:56 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.11.2019, 17:33 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: авторское решение есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение22.11.2019, 12:11 


05/09/16
11505
Пока идёт подбор, напишу что мы знаем об $A$
$A=114^{115 \cdot 116}+123462=(2\cdot 3 \cdot 19)^{13340}+2\cdot 3^2 \cdot 19^3=114(114^{13339}+1083)=2\cdot 3^2 \cdot 19^3(1+2^{13339}\cdot3^{13338}\cdot 19^{13337})=123462 \cdot (1+12\cdot 114^{13337})$

$A \equiv 0 \pmod 7$

$115 \cdot 116 = 13340 = 2^2 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29$

$115 \cdot 116 - 1=13339 $ и $115 \cdot 116 - 3 = 13337$ -- простые-близнецы

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение22.11.2019, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3051
Уфа
wrest, нет, всё хуже. Там, где вы пишете $115\cdot 116$, должно быть $115^{116}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение22.11.2019, 12:24 


05/09/16
11505
А, то есть $114^{{115}^{116}}=114^{\left(115^{116}\right)}$ а не $(114^{115})^{116}}$ ?

Неочевидно, но раз вы говорите...

Тогда подбор (у меня) идёт не туда. С такими числами компьютер справиться не сможет, только клочок бумажки...

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение22.11.2019, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3051
Уфа
Да, обычно, когда степенную башню выписывают, имеют в виду порядок вычислений сверху вниз.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение22.11.2019, 14:23 


05/09/16
11505
Тогда мне пока только удалось проверить что $A$ не квадрат (две последние цифры в десятичной записи $86$) и соответственно -- нетривиальные решения есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение22.11.2019, 23:50 


20/11/19
13
wrest в сообщении #1427157 писал(а):

Тогда подбор (у меня) идёт не туда. С такими числами компьютер справиться не сможет, только клочок бумажки...

Число A специально выбрано "страшное", так, чтобы никакой "подбор" был принципиально невозможен.
Да и программы не помогут. Я не большой специалист, но мне кажется, с этой задачей и суперкомпьютер не справится.
У числа A период как минимум порядка $100^{100}$. Можно представить себе, какие числа будут при вычислении подходящих дробей.
Впрочем, это не так важно.
Решение явно не в этом направлении. Во всяком случае, точно могу сказать, что при составлении задачи я ставил целью сделать подбор невозможным.

wrest в сообщении #1427176 писал(а):
Тогда мне пока только удалось проверить что $A$ не квадрат (две последние цифры в десятичной записи $86$) и соответственно -- нетривиальные решения есть.


Остатки можно было не вычислять. $114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат. Следующий по порядку квадрат будет $114^{{115}^{116}}+2 \cdot114^{\left115^{58}\right}+1$ Очевидно, что нашему числу до него очень далеко.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение22.11.2019, 23:55 


05/09/16
11505
N1508 в сообщении #1427266 писал(а):
Остатки можно было не вычислять. $114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат.

Как это? $115^{116}$ на два не делится...

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение23.11.2019, 00:16 


20/11/19
13
wrest в сообщении #1427267 писал(а):
N1508 в сообщении #1427266 писал(а):
Остатки можно было не вычислять. $114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат.

Как это? $115^{116}$ на два не делится...

Да уж...
Я, скорее всего, тоже "башни" не так посмотрел. Подумал, что "конструкция" в четной степени (116)
Приношу извинения за небрежность. А смысл именно в том и был, что "башня" - полный квадрат. Без этого решения не будет.
Если можно, считайте, что $А = 114^{{114}^{116}}+123462$. Теперь, надеюсь, "башня" - точно квадрат - это критически важно в задаче.
Еще раз извиняюсь, что заставил решать нерешаемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение23.11.2019, 07:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
N1508 в сообщении #1427266 писал(а):
$114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат.
Вот смотрел я вчера-позавчера на эту задачу и недоумевал --- что за ерунда, как такое может быть (я имею в виду оригинальное условие задачи). А тут, оказывается, вот где собака порылась. С квадратом-то очевидно будет, не надо пугать народ этими жуткими степенными башнями.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение23.11.2019, 11:11 


20/11/19
13
nnosipov в сообщении #1427284 писал(а):
N1508 в сообщении #1427266 писал(а):
$114^{{115}^{116}}$ - полный квадрат.
Вот смотрел я вчера-позавчера на эту задачу и недоумевал --- что за ерунда, как такое может быть (я имею в виду оригинальное условие задачи). А тут, оказывается, вот где собака порылась. С квадратом-то очевидно будет, не надо пугать народ этими жуткими степенными башнями.

1. Я извинился перед теми, кого испугал "башнями".
2. Согласен, задача совсем не сложная, но хотелось поучаствовать в обсуждении.
3. На всякий случай, чтобы избежать недопонимания: параметр A содержит полный квадрат в виде "башни", но он еще содержит слагаемое 123462 и в итоге не является полным квадратом.
Это я - вдруг кто-то подумает, что задача не имеет решения из-за того, что коэффициент в уравнении Пелля - полный квадрат. Такая задача была бы просто неприличной для серьезного форума.
Т.е. еще раз (после исправления)$A = 114^{{114}^{116}} + 123462$ - это точно не полный квадрат и уравнение имеет нетривиальные решения, одно из которых предлагается найти.
И еще раз - в чем моя ошибка, которую я пытаюсь исправить: "башня" $114^{{114}^{116}}$ - как слагаемое коэффициента A должна быть полным квадратом (не сам коэффициент!) - иначе предложенная задача не имеет авторского решения.

Задача еще раз в исправленном виде (в "башне" заменил 115 на 114):

Уравнение (Пелля) $y^{2} = Ax^{2}+1$ в натуральных числах.
Известно, что $A =114^{{114}^{116}}+123462$
Найти точное значение (нетривиальное) $x$ в виде любого выражения, содержащего только цифры (числа) и математические действия: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Ответ обосновать.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение23.11.2019, 11:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
N1508 в сообщении #1427293 писал(а):
но хотелось поучаствовать в обсуждении
Окей, давайте пообсуждаем. Первое, о чем я подумал: не поискать ли для Вашего $A$ представление в виде $t^2d^2+t$ или $t^2d^2+2t$. Для таких $A$ минимальное решение уравнения Пелля $x^2-Ay^2=1$ выписывается в явном виде. Вы этот трюк имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на уравнение Пелля.
Сообщение23.11.2019, 11:57 


20/11/19
13
nnosipov в сообщении #1427296 писал(а):
N1508 в сообщении #1427293 писал(а):
но хотелось поучаствовать в обсуждении
Окей, давайте пообсуждаем. Первое, о чем я подумал: не поискать ли для Вашего $A$ представление в виде $t^2d^2+t$ или $t^2d^2+2t$. Для таких $A$ минимальное решение уравнения Пелля $x^2-Ay^2=1$ выписывается в явном виде. Вы этот трюк имели в виду?

Почти так.
Собственно:
1. Перебор и численные методы исключаем ("башни" только для этого)
2. Остается методом исключения только одно - применить формулу для частных случаев уравнения Пелля к данной задаче.
Ваши два случая мне, честно говоря, не известны ввиду отсутствия высшего математического образования. Хотя смысл их мне понятен.
Формулу, которую я имел ввиду я выводил сам. Но, не сомневаюсь, в теории она известна и применить ее здесь будет несложно, учитывая, что:
$114=2\cdot3\cdot19$
$123462=2\cdot3^{2}\cdot19^{3}$
Это практически весь замысел задачи. Осталось ее только решить...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group