Определение упрощенных матриц

[Whitaker]

Здравствуйте! Читал книжку книжку Беклемишева по линейной алгебре и натолкнулся на следующее определение, которое не совсем могу себе представить.

Матрица размеров $m\times n$ называется упрощенной, если некоторые $r$ ее столбцов являются первыми $r$ столбцами единичной матрицы порядка $m$ и, в случае $m>r$, ее последние $m-r$ строк - нулевые.

Первый вопрос: Я так понимаю это определение распадается на два случая, да? А именно $m\leq r$ и $m>r$. Но случай $r>m$ не имеет смысла так как что значит в таком контексте первые $r>m$ столбцов единичной матрицы порядка $m$.

Второй вопрос: когда он говорит последние $m-r$ строк - нулевые, то он имеет ввиду всей матрицы или только тех элементов последних $ m-r$ строк пересеченный с теми $r$ столбцами?

Я был бы очень благодарен за подробный ответ!

[teleglaz]

Whitaker в сообщении #1426992 писал(а):

Я так понимаю это определение распадается на два случая, да?

Не совсем. Может проще будет прочитать так: матрица размеров $m\times n$ называется упрощённой, если некоторые $r$ её столбцов являются первыми $r$ столбцами единичной матрицы порядка $m$ и если ещё при этом $m>r$, то её последние $m-r$ строк -- нулевые. (Кстати, в моём издании примерно так и написано).

Whitaker в сообщении #1426992 писал(а):

когда он говорит последние $m-r$ строк - нулевые, то он имеет ввиду всей матрицы

Да.

Тут проще нарисовать, чем объяснить. Где-то у меня было ТеХовское представление упрощённой матрицы в общем случае, но под рукой пока не вижу.
Представляете себе матрицу ступенчатого вида?

[Whitaker]

teleglaz в сообщении #1427036 писал(а):

Whitaker в сообщении #1426992 писал(а):

Я так понимаю это определение распадается на два случая, да?

Не совсем. Может проще будет прочитать так: матрица размеров $m\times n$ называется упрощённой, если некоторые $r$ её столбцов являются первыми $r$ столбцами единичной матрицы порядка $m$ и если ещё при этом $m>r$, то её последние $m-r$ строк -- нулевые. (Кстати, в моём издании примерно так и написано).

Whitaker в сообщении #1426992 писал(а):

когда он говорит последние $m-r$ строк - нулевые, то он имеет ввиду всей матрицы

Да.

Тут проще нарисовать, чем объяснить. Где-то у меня было ТеХовское представление упрощённой матрицы в общем случае, но под рукой пока не вижу.
Представляете себе матрицу ступенчатого вида?

Было бы круто увидеть ваш Тех файл. Представил себе конечно такую матрицу, но увидеть было бы неплохо.

И еще я правильно понимаю, что $r \leq m$?

Честно говоря, не совсем понятен смысл определения осоьенно в случае когда последние $m-r$ строк нулевые

[teleglaz]

Whitaker в сообщении #1427064 писал(а):

Представил себе конечно такую матрицу

Представьте где-нибудь тут. Это будет явно быстрее, чем я это найду.

Whitaker в сообщении #1427064 писал(а):

И еще я правильно понимаю, что $r \leq m$?

Правильно. Точнее говоря, $r \leq \min \{m;n\}$.

Whitaker в сообщении #1427064 писал(а):

не совсем понятен смысл определения

А какой может быть смысл в определении? Определение определяет. Смысл может быть в теоремах, с ним связанными. Например, смысл есть в утверждении, что если вы из исходной матрицы с помощью элементарных преобразований получили упрощённую, то некоторые её свойства не поменяются, например ранг. А там, глядишь, и посчитать его можно будет. Тысячи их...

[Whitaker]

Я правильно понимаю, что первые две матрицы будут упрощенными, но последняя не будет таковой?

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$

,

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[teleglaz]

Правильно понимаете. Второй случай, конечно, немного связан с вопросом определения, но тем не менее -- да.