Циферблальный оригинат

[Ktina]

Окружность разбита на 12 равных частей. В каждой из точек деления записано по числу. Известно, что сумма трёх чисел в вершинах любого равнобедренного треугольника - простое число. Верно ли, что сумма трёх чисел в вершинах любого треугольника - тоже простое число?

[wrest]

Ktina в сообщении #1426545 писал(а):

Верно ли, что сумма трёх чисел в вершинах любого треугольника - тоже простое число?

Нет, не верно.
Например, числа расставлены так: $313113111111$ тогда суммы по равнобедренным треугольникам будут $357$, а по неравнобедренным одна будет $9$

[ozheredov]

Ktina или wrest, можете привести пример такой расстановки? У меня сомнение, что существует хотя бы одна:

Ktina в сообщении #1426545 писал(а):

Окружность разбита на 12 равных частей. В каждой из точек деления записано по числу. Известно, что сумма трёх чисел в вершинах любого равнобедренного треугольника - простое число.

[wrest]

ozheredov в сообщении #1426555 писал(а):

можете привести пример такой расстановки?

Я же привёл: $313113111111$

[ozheredov]

wrest

Хотите верьте, хотите нет, я отправил свое сообщение одновременно с появлением вашего. Т.е. когда нажимал кнопку засабмитить, вашего еще не было, а когда страница обновилась оно появилось

[EUgeneUS]

wrest
У меня было аналогичное предложение. Но вспомнил, что единица - не считается простым числом, и не стал писать.
UPD: ну и зря, что не стал Есть требование о простоте сумм, но не самих чисел.

[ozheredov]

EUgeneUS в сообщении #1426558 писал(а):

единица - не считается простым числом

Кстати да.

wrest, возможно ли придумать нетривиальный пример?

[wrest]

(ozheredov)

ozheredov в сообщении #1426557 писал(а):

Хотите верьте, хотите нет,

Я верю :)

[ozheredov]

EUgeneUS в сообщении #1426558 писал(а):

Есть требование о простоте сумм, но не самих чисел.

а, да

[Dendr]

ozheredov в сообщении #1426560 писал(а):

возможно ли придумать нетривиальный пример?

Уже по модулю тройки - сплошное разочарование.
С другой стороны, если не требовать простоты сумм любых треугольников, то можно попытаться с отрицательными или дробными числами...

[Ktina]

wrest в сообщении #1426554 писал(а):

Ktina в сообщении #1426545 писал(а):

Верно ли, что сумма трёх чисел в вершинах любого треугольника - тоже простое число?

Нет, не верно.
Например, числа расставлены так: $313113111111$ тогда суммы по равнобедренным треугольникам будут $357$, а по неравнобедренным одна будет $9$

А по неравнобедренным она будет 9? Боюсь, что не всегда. Например 313113111111 даёт сумму 5 для неравнобедренного.

-- 19.11.2019, 00:01 --

ozheredov в сообщении #1426555 писал(а):

Ktina или wrest, можете привести пример такой расстановки? У меня сомнение, что существует хотя бы одна:

Ktina в сообщении #1426545 писал(а):

Окружность разбита на 12 равных частей. В каждой из точек деления записано по числу. Известно, что сумма трёх чисел в вершинах любого равнобедренного треугольника - простое число.

Например, все 12 чисел равны $\dfrac{2}{3}$.

[wrest]

Ktina в сообщении #1426678 писал(а):

А по неравнобедренным она будет 9? Боюсь, что не всегда.

Так я ж и написал "одна будет 9"

[Ktina]

wrest в сообщении #1426688 писал(а):

Ktina в сообщении #1426678 писал(а):

А по неравнобедренным она будет 9? Боюсь, что не всегда.

Так я ж и написал "одна будет 9"

Пардон, буква Д ускользнула от моего внимания.
Тогда Вы правы, конечно.
Хотя в условии не требуется, чтобы числа были целыми, и тогда задача решается совсем легко.

[ozheredov]

Ktina в сообщении #1426678 писал(а):

Например, все 12 чисел равны $\dfrac{2}{3}$.

Тогда сумма 2. Предлагаеццо считать простыми числами начинающиеся от тройки. 1 и 2 -- это какой-то трэш

[Dendr]

ozheredov в сообщении #1426768 писал(а):

Тогда сумма 2. Предлагаеццо считать простыми числами начинающиеся от тройки.

Ну лады... $332\frac{1}{3}$ во всех точках - годится?

Любопытно стало расширить задачу: провести поиск наибольшего разбиения окружности для выполнения соответствующих условий.

Например - чтобы условие выполнялось. Но...
Тут следует учесть, что в пятиугольнике и квадрате все треугольники - равнобедренные, так что допусловие просто не имеет смысла, оно выполнится автоматически. Приведенный выше контрпример годится также и для шестиугольника, поэтому вопрос сразу закрыт.

Другой вариант: не требовать гарантированного выполнения допусловия, но привести пример, где оно все же выполняется, и при этом запретить повторяющиеся числа. Тут уже чисто математика заканчивается, поскольку системы не предвидится, и требуется простой перебор.
В квадрате это легко, можно даже добиться всех простых чисел: $5, 7, 17, 19$.
В пятиугольнике приходится переходить либо на дробные числа: $2\frac{1}{3}, 4\frac{1}{3}, 16\frac{1}{3}, 52\frac{1}{3}, 82\frac{1}{3}$, либо на отрицательные: $-9, 3, 9, 11, 17$.
Расставлять числа можно, конечно же, в любом порядке.

Для шестиугольника: $2\frac{1}{3}, 8\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}, 26\frac{1}{3}, 32\frac{1}{3}, 68\frac{1}{3}$.
Если же не требовать простоты сумм в вершинах неравнобедренных треугольников, то можно подобрать и натуральные значения, например: $1, 2, 4, 5, 8, 10$, именно в этом порядке. Например, один из треугольников даст $1+4+5=10$, но он неравнобедренный.

В семиугольниках пока не нашлось, даже с исключением допусловия...