Иродов задача 3.398

[r0ma]

Всем привет!

Помогите понять условие задачи в Иродове (3.398 или в другом издании 3.383):

Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $U$, выходит из точки $A$ вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии $l$ от точки $A$ при двух последовательных значениях индукции магнитного поля, $B_1$ и $B_2$. Найти удельный заряд $\frac{q}{m}$ частиц.

Что значит последовательные значения индукции? То есть вот летели в соленоиде частицы, пролетели сколько-то витков, а потом поле сменилось?

Решение видел, но оно мне также не внесло ясности. В решении сказано, что время пройдённое частицами до фокусировки

$\frac{l}{v_0} \approx nT_1 = (n+1)T_2,$

где $T_1$ и $T_2$ периоды обращения заряженных частиц для индукций $B_1$ и $B_2$, а $n$ как я понял — это число витков. Непонятно почему вдруг это условие должно выполняться.

[realeugene]

r0ma в сообщении #1426098 писал(а):

Что значит последовательные значения индукции?

Предположу, что медленно включают магнитное поле, и по мере его возрастания пучок при некоторых его значениях фокусируется на заданном заранее расстоянии.

[EUgeneUS]

Если медленно включают, то $n=1$

Частицы будут фокусироваться в заданной точке при некоторой последовательности значений магнитной индукции. Видимо, подразумевается любая пара "соседних" знечений из этой последовательности.
Но, конечно, надо догадаться.

[DimaM]

r0ma в сообщении #1426098 писал(а):

а $n$ как я понял — это число витков

Это вы неправильно поняли.
Как движутся внутри соленоида заряженные частицы, имеющие скорость вдоль поля $v_0$ и еще небольшую поперечную скорость?

-- 15.11.2019, 19:45 --

EUgeneUS в сообщении #1426104 писал(а):

Если медленно включают, то $n=1$

Не обязательно. История вопроса не описана - вполне возможно, что фокусировка происходит также при меньших значениях индукции $B_0, B_{-1},\ldots$

[EUgeneUS]

DimaM

(Оффтоп)

Если включают, то с нуля же. Нет?

[r0ma]

DimaM в сообщении #1426105 писал(а):

Это вы неправильно поняли.
Как движутся внутри соленоида заряженные частицы, имеющие скорость вдоль поля $v_0$ и еще небольшую поперечную скорость?

Движутся по спирали (разумеется, с уменьшением радиуса, так как фокусировка). Под витками я имел в виду количество оборотов при спиральном вращении. Тем не менее, я всё равно не понимаю, почему между ними равенство. Есть фиксированный путь от точки вылета до точки фокусировки. Он равен $l/v_0$. Далее. Пусть частицы совершили $n$ оборотов в поле $B_1$. Почему в поле $B_2$ они совершают $n+1$ оборот и между ними вообще ставится знак равенства?

-- Пт ноя 15, 2019 16:41:08 --

То есть я бы понял запись (смена значений индукции происходит мгновенно без промежуточных значений, судя по условию задачи): $\frac{l}{v_0} = nT_1 + mT_2$

Но почему в решении написано так, я пока что-то вкурить не могу.

[EUgeneUS]

r0ma в сообщении #1426122 писал(а):

Движутся по спирали (разумеется, с уменьшением радиуса, так как фокусировка).

Оопс.
Как Вы себе представляете фокусировку слабо расходящегося пучка частиц в однородном магнитном поле (поле соленоида)?

[r0ma]

EUgeneUS в сообщении #1426139 писал(а):

Оопс.
Как Вы себе представляете фокусировку слабо расходящегося пучка частиц в однородном магнитном поле (поле соленоида)?

Возможно я не понимаю, что значит фокусировка.

Как я представляю, вот есть набор частиц, есть поле. Каждая частица двигается по спирали (вдоль поля), каждая со своим радиусом (в зависимости от скорости частицы). Вот то $n$ и есть число оборотов до фокусировки.

Тогда что такое фокусировка? Когда все частицы соберутся в одной точке? Как я понимаю.

Далее. Переключили поле на $B_2$. Почему они сфокусируются при $(n+1)$ обороте?

[amon]

r0ma в сообщении #1426205 писал(а):

Как я представляю, вот есть набор частиц, есть поле. Каждая частица двигается по спирали (вдоль поля), каждая со своим радиусом (в зависимости от скорости частицы). Вот то $n$ и есть число оборотов до фокусировки... Тогда что такое фокусировка?

По этому поводу есть такая рекомендация классиков науки: "Shut up and calculate!" Давайте попробуем ей воспользоваться. Для этого можно порешать такую задачку. Заряженная частица вылетает из некоторой точки под малым углом $\alpha$ к направлению постоянного магнитного поля. Малость угла означает, что вместо $\sin\alpha$ можно писать $\alpha,$ а вместо $\cos\alpha$ - единицу. Найдите точку, в которую частицы прилетят одновременно независимо от начального угла $\alpha.$

[Eule_A]

И заодно есть рекомендация перестать, наконец, употреблять не к месту слово "спираль".

[r0ma]

amon в сообщении #1426208 писал(а):

По этому поводу есть такая рекомендация классиков науки: "Shut up and calculate!" Давайте попробуем ей воспользоваться. Для этого можно порешать такую задачку. Заряженная частица вылетает из некоторой точки под малым углом $\alpha$ к направлению постоянного магнитного поля. Малость угла означает, что вместо $\sin\alpha$ можно писать $\alpha,$ а вместо $\cos\alpha$ - единицу. Найдите точку, в которую частицы прилетят одновременно независимо от начального угла $\alpha.$

Ну я вроде разобрался. Видимо, непонимание было в том, что $B_1$ и $B_2$ — это последовательные и именно соседние! значения полей, при которых происходит фокусировка (то, что в Иродове не оговорено никаким образом), а индекс внизу $B$ отражает порядок фокусировки. То есть порядок различается на единицу. Я изначально думал, что это просто рандомные несвязанные значения полей.

Следующее непонимание было в том, что поток заряженных частиц идёт непрерывно. При одном поле одни сфокусировались, потом поле меняется на соседнее и уже другие частицы (следующие в слаборасходящемся потоке за ними) фокусируются при следующем значении фокусирующего поля при той же самой заданной длине фокусировки. Отсюда и берётся $+1$.

[EUgeneUS]

r0ma в сообщении #1426354 писал(а):

Ну я вроде разобрался

Раз так, Вам наверное не составит труда, рассказать как и почему происходит фокусировка пучка, и что такое $n$.

[r0ma]

EUgeneUS в сообщении #1426373 писал(а):

Раз так, Вам наверное не составит труда, рассказать как и почему происходит фокусировка пучка, и что такое $n$.

Фокусировка происходит за счёт силы Лоренца (присутсвует радиальная составляющая скорости), $n$ — порядок фокусировки.

[EUgeneUS]

r0ma в сообщении #1426390 писал(а):

Фокусировка происходит за счёт силы Лоренца (присутсвует радиальная составляющая скорости),

"Такова природа вещей", ага.
Ответ, конечно, верный, но настолько общий, что за ответ не засчитывается.

r0ma в сообщении #1426390 писал(а):

$n$ — порядок фокусировки.

Что такое "порядок фокусировки"?

Рекомендую прислушаться к совету:

amon в сообщении #1426208 писал(а):

По этому поводу есть такая рекомендация классиков науки: "Shut up and calculate!"

И решить задачку, сформулированную в этом сообщении уважаемого amon.

[r0ma]

EUgeneUS в сообщении #1426396 писал(а):

r0ma в сообщении #1426390 писал(а):

Фокусировка происходит за счёт силы Лоренца (присутсвует радиальная составляющая скорости),

Рекомендую прислушаться к совету:

amon в сообщении #1426208 писал(а):

По этому поводу есть такая рекомендация классиков науки: "Shut up and calculate!"

И решить задачку, сформулированную в этом сообщении уважаемого amon.

Задача решена. Расписывать подробно нет времени. Скажу кратко: расписываем векторное произведение (понятно где) с нужными компонентами магнитного поля. Находим траекторию (будет через синусы и косинусы). Находим шаг винтовой линии (раз спираль никому не нравится слово). В первом порядке косинус в единицу, получаем, что от угла ничего не зависит. То есть фокусировка кратна этому шагу. Там возникает это "н", которое я и назвал порядком фокусировки. Получаем, что при некоторых фиксированных значениях полей, у нас происходит фокусировка (все частицы возвращаются на ось из которой вылетели). Берём два соседних значения полей, а так как длина заранее задана, возникает равенство, которое писал в первом после в приближении малого угла.

-- Вс ноя 17, 2019 14:26:37 --

amon в сообщении #1426208 писал(а):

По этому поводу есть такая рекомендация классиков науки: "Shut up and calculate!" Давайте попробуем ей воспользоваться.

Фейнман сказал.