Периодические решения

[pogulyat_vyshel]

Совсем простенькая задачка, без претензий. Кому-то может и для устного счета:)

Задана система ОДУ

$$\dot x=f(t,x)+c,\quad f\in C^1([0,\infty)\times\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^m),\quad f(t+1,x)=f(t,x),\quad \sup_{z\in[0,\infty)\times\mathbb{R}^m}|f(z)|<\infty .$$

Доказать, что можно так подобрать постоянный вектор $c\in\mathbb{R}^m$, что указанная система будет иметь $1-$периодическое решение $x(t)$, причем $\int_0^1x(t)dt=0$.

[DeBill]

Получается, но как-то не совсем простенько...
Пусть $x_{\varepsilon}(t,x_0,c)$ -решение системы
$\dot{x}=\varepsilon f(t,x)+c$ с НУ $(0,x_0)$.
Пусть $M = \sup \left\lvert f\right\rvert$ .
Рассмотрим на бидиске $D=\{\left\lVert x_0\right\rVert <3M,\left\lVert c\right\rVert <2M\}$ отображение
$F_{\varepsilon}: (x_0,c) \mapsto (x_{\varepsilon}(1,x_0,c) - x_0, \int\limits_{0}^{1} x_{\varepsilon}(s,x_0,c) ds) =:(\Phi,\Psi) $.
Из дифура имеем: $\left\lVert \Phi -c\right\rVert \leqslant M,\left\lVert \Psi -x_0-\frac{c}{2}\right\rVert \leqslant \frac{M}{2}$.
Поэтому при $\left\lVert c\right\rVert =2M$ имеем $\left\lVert \Phi \right\rVert >0$, а при $\left\lVert x_0\left\lVert =3M,\right\rVert c \right\rVert \leqslant 2M$ имеем $ \left\lVert \Psi\right\rVert >0$. Значит, при гомотопии $\varepsilon \in [0,1]$, степень отображения $F_{\varepsilon}$ относительно точки $(0,0) $ сохраняется. Но для $F_0$ она равна 1 (значит, и для $F_1$ - тоже равна 1). Но это значит, что уравнение $F_1(x_0,c) = (0,0)$ имеет решения в $D$. А это и есть требуемое....

[Padawan]

Если бы не условие

pogulyat_vyshel в сообщении #1425977 писал(а):

$\int_0^1x(t)dt=0$.

, то совсем простенько было бы. Даже я догадался, что надо рассмотреть отображение $c\mapsto\{\text{решение уравнения при}\; t=1\}$ и его степень, равную единице.

[pogulyat_vyshel]

А еще можно использовать теорему Шаудера о неподвижной точке. Это работает и когда векторное поле $f$ лишь непрерывно. В последнем случае нет теоремы единственности, поэтому теория топологической степени не прокатывает, во всяком случае так сразу. А вообще я не ожидал, что эта задачка решается с помощью топологической степени в гладкой постановке. Здорово.