Найти значения, удовлетворяющие условию

[Exponenced]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане.
В процессе поисков интересных задач наткнулся на любопытный образчик, который представляю вашему вниманию.

Цитата:

Найти все значения параметра $b$, при которых уравнение $b(x+1)^2+2-x^2=0$ имеет два различных корня, принимая в расчёт, что параметр $b$ может быть только натуральным числом.

Личный ход рассуждений:

1. Сначала необходимо упростить выражение в левой части уравнения:
   $b(x+1)^2+2-x^2=0$
   $b(x^2+2x+1)+2-x^2=0$
   $bx^2+2bx+b+2-x^2=0$
   $(b-1)x^2+2bx+b+2=0$
2. В итоге получилось квадратное уравнение вида $ax^2+px+q=0$, где в рассматриваемом случае $a=b-1$, $p=2b$, $q=b+2$.
3. Известен факт, что у квадратного уравнения есть два различных корня, если дискриминант его квадратного трёхчлена положителен. Следовательно, для решения задачи необходимо найти дискриминант $D$ квадратного трёхчлена уравнения и затем решить неравенство $D>0$ для нахождения $b$, удовлетворяющих условию.
4. Дискриминант полученного при первом шаге квадратного трёхчлена вычисляется по формуле $D=p^2-4aq$. После подстановки значений для $a$, $p$ и $q$ необходимо раскрыть скобки и привести подобные:
   $D=(2b)^2-4(b-1)(b+2)$
   $D=4b^2-4(b^2+2b-b-2)$
   $D=4(b^2-(b^2+b-2))$
   $D=4(b^2-b^2-b+2)$
   $D=4(-b+2)$
   $D=4(2-b)$
5. Теперь необходимо решить неравенство $D>0$.
   $4(2-b)>0$
   Произведение двух множителей больше нуля тогда и только тогда, когда у этих множителей одинаковые знаки - или они оба положительные, или они оба отрицательные. Так как $4>0$ (положительное число), то выражение $2-b$ также должно быть больше нуля. Чтобы это выполнялось, $b$ должно быть меньше двух. Но раз у нас $b$ - натуральное число, то значение, удовлетворяющее такому неравенству, только одно: единица.

Казалось бы, можно брать и записывать ответ, но если мы поставим единицу в исходное уравнение, тогда получится, что его дискриминант будет равен нулю, следовательно, будет один корень.

Прошу помощи в нахождении ошибки в моём рассуждении - вроде бы, всё логично, а результат на выходе неверный.

С уважением,
-Exp.

[DeBill]

Exponenced
При $b=1$ логика рассуждения нарушена: в этом случае уравнение - не квадратное...

[wrest]

Exponenced в сообщении #1425826 писал(а):

Казалось бы, можно брать и записывать ответ, но если мы поставим единицу в исходное уравнение, тогда получится, что его дискриминант будет равен нулю,

Если подставить $b=1$ в

Exponenced в сообщении #1425826 писал(а):

$D=(2b)^2-4(b-1)(b+2)$

То получим $D=4$

Но при $b=1$ нет квадратного уравнения, а есть уравнение первой степени, а у такого всегда только один корень.

[Exponenced]

DeBill в сообщении #1425829 писал(а):

Exponenced
При $b=1$ логика рассуждения нарушена: в этом случае уравнение - не квадратное...

Так-то оно так, но это роли в решении не играет.

wrest в сообщении #1425830 писал(а):

Exponenced в сообщении #1425826 писал(а):

Казалось бы, можно брать и записывать ответ, но если мы поставим единицу в исходное уравнение, тогда получится, что его дискриминант будет равен нулю,

Если подставить $b=1$ в

Exponenced в сообщении #1425826 писал(а):

$D=(2b)^2-4(b-1)(b+2)$

То получим $D=4$

Но при $b=1$ нет квадратного уравнения, а есть уравнение первой степени, а у такого всегда только один корень.

Моя вина, не уточнил, какое уравнение называю исходным. Под исходным уравнением имеется в виду $b(x+1)^2+2-x^2=0$.

То есть, если уравнение перестаёт быть квадратным, такая логика на него не работает?
Каким методом тогда решать подобные задачи?

[wrest]

Exponenced в сообщении #1425845 писал(а):

Каким методом тогда решать подобные задачи?

Так и решать как вы, но следить за применимостью метода. Уравнение называют квадратным если коэффициент при квадрате ненулевой. Только тогда "играет" дискриминант и все такое. Вы получили ограничение на параметр $b$ и оказалось что при нём у исходного уравнения один корень. Значит, если под натуральными понимать целые положительные числа, то ваша задача решения не имеет.