Какими методами можно воспользоваться для решения интеграла?

[urankhai]

Уважаемые знатоки и любители!

Подскажите пожалуйста, какие методы можно использовать для подсчета интегралов следующего типа:
Даны функции $f_k(x,y) = g_k(x,y)\exp\bigl(j \frac{2\pi}{\lambda} \sqrt{z_k^2 + (x - x_k)^2 + (y - y_k)^2}\bigr)$, где $g_k(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \frac{\sqrt{z_k}}{(z_k^2 + (x - x_k)^2 + (y - y_k)^2)^{3/4}}$;
и нужно посчитать или хотя бы примерно посчитать интеграл $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_k(x,y) f_l(x,y)\,dx\,dy$.

Если интеграл не берется, меня бы вполне удовлетворили оценочные методы. Спрашиваю тут, так как сам не знаю с чего начать, нет пока что никаких идей. Был бы очень благодарен любым идеям. Дайте пожалуйста хоть какую-нибудь зацепку?

[vpb]

Во первых, $k$, $l$ ни при чем, ясно, что можно написать $x_1$, $y_1$, $z_1$, $x_2$, $y_2$, $z_2$ вместо $x_k$, $y_k$, $z_k$, $x_l$, $y_l$, $z_l$ соответственно. Во вторых, $j$ --- это действителное число, или мнимая единица так обозначена ? В третьих, надо понять, в какой области изменения параметров хотите оценку получить, чем они ограничены и куда стремятся ?

[urankhai]

Вы правы, можно справиться и без использования $k, l$. $j$ --- мнимая единица.

Извиняюсь за неточность в формулировке: $z_{l} > 0; (x, y) \in \mathbb{R}^2$.

[DeBill]

urankhai
При $\lambda \to +0$ асимптотику Ваших интегралов можно найти методом стационарной фазы...

[Farest2]

Одна из экспонент не должна быть сопряженной? Но даже если нет, единственный подход, который я знаю, это использование интегральных представлений функций Макдональда $K_\nu(x)$.

[mihiv]

Задача сильно упрощается в частном случае: $x_1=x_2, y_1=y_2$.

[urankhai]

Вы правы, вторая экспонента сопряженная

urankhai в сообщении #1425684 писал(а):

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_k(x,y) \overline{f_l(x,y)}\,dx\,dy$.

Благодарю за функции Макдональда. Сейчас посмотрю на них.

В частном случае ($x_1 = x_2, y_1 = y_2$) вид слегка упрощается. А что делать дальше с этим пока не понятно.

[Farest2]

На всякий случай. Смотреть лучше не Ватсона (хотя там тоже есть), а примеры из Никифорова-Уварова "Спец.функции мат.физики" (параграф 23).

[mihiv]

Если $x_1=x_2, y_1=y_2$, то можно сначала сделать замену $\bar x=x-x_1, \bar y=y-y_1$, а затем перейти к полярным координатам. Интеграл по углу берется, и остается однократный интеграл по переменной $\rho =\sqrt {\bar x^2+\bar y^2}$.

[DeBill]

urankhai
При $z_1>z_2$ для малых $\lambda$ будет:
Пусть $p$ - точка пересечения прямой, проходящей через точки $A_1=(x_1,y_1,z_1), A_2=(x_2,y_2,z_2)$ с плоскостью $z=0$. Тогда (для

urankhai в сообщении #1426544 писал(а):

вторая экспонента сопряженная

) будет:
$I= 2\pi \lambda \cdot (-i) \cdot \frac{e^{\frac{il}{\lambda}}}{\sqrt{H(p)}}\cdot g(p) +O(\lambda^2)$,
где $l$ - расстояние между точками $A_1$ и $A_2$, $g=g_1\cdot g_2$,
$H$- гессиан функции $L(x,y)$, равной разности расстояний от точки $(x,y,0)$ до точек $A_1$ и $A_2$ (это - так, поскольку $p$ - критическая точка для $L$, с критическим значением $l$)

(Оффтоп)

Лень считать ... Однако удача случилась: критическая точка нашлась явно.