Book Leman: Moscow Math Olympiad

[rsoldo]

Rationalize the denominator:

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e}}.$$

[mihiv]

Избавиться от радикалов в знаменателе можно представляя знаменатель в виде суммы двух слагаемых $x+y$ и умножая числитель и знаменатель на $x-y$. Потребуется 4 таких умножения.
Введем обозначения:

$$R=a+b+c-d-e, Q=4(ab+ac +bc-de), R_1=R^2+Q,$$ $$R_2=R_1^2+16(R+2a)^2bc-16(R+2b)^2ac-16(R+2c)^2ab, Q_1=6R_1(R+2a)-32a(R+2b)(R+2c)$$

.
Тогда, умножая числитель и знаменатель последовательно на

$$P_1= (\sqrt {a}+\sqrt {b}+\sqrt {c})-(\sqrt {d}+\sqrt {e}), P_2=(R+2(\sqrt {ab}+\sqrt {ac}+\sqrt {bc}))+2\sqrt {de},$$

$$P_3=R_1++4(R+2a)\sqrt {bc}-4\left ((R+2b)\sqrt {ac}+(R+2c)\sqrt {ab}\right ), P_4=R_2-Q_1\sqrt {bc}$$

В результате получим числитель дроби: $P_1P_2P_3P_4$, знаменатель: $R_2^2-Q_1^2bc$.