Отношение интегралов

[nnosipov]

Для $0<e<1$ рассмотрим

$$ I_1=\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sqrt{1+2e\cos{\theta}+e^2}}{(1+e\cos{\theta})^2}\,d\theta, \quad I_2=\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sqrt{1+2e\cos{\theta}+e^2}}{(1+e\cos{\theta})^3}\,d\theta. $$

Найдите $I_2/I_1$.

[DeBill]

Ну, в полярной системе координат (с центром в фокусе эллипса) имеем:
первый интеграл есть длина эллипса, а отношение второго к первому есть среднее расстояние от точек эллипса до фокуса. Ясно, что для второго фокуса это среднее - такое же. Но сумма расстояний до фокусов постоянна, так что искомое отношение ("среднее расстояние") есть половинка этой суммы (и равно большой полуоси). Т.к. длина большой оси равна сумме $\frac{1}{1+e} + \frac{1}{1-e}$, то ответ $\frac{1}{1-e^2}$
Красивая задачка!

[nnosipov]

DeBill
Все верно!