Отображение множества

[stiv1995]

Рассмотрим матрицу $X \in \mathbb{R}^{n \times p}$, где $n > p$ и для простоты матрица $X$ имеет ранг $p$. Рассмотрим также множество $\mathcal{M}$:

$$ \mathcal{M} = \{\beta \in \mathbb{R}^p | \beta_1 > \beta_2 > ... > \beta_p\}. $$

Рассмотрим множество $\mathcal{M}$ под действием отображения $X$, которое мы обозначим $\Gamma \subset \mathbb{R}^{n}$. Очевидно, что множество $\Gamma$ имеет размерность $p$, так как оно лежит в подпространстве, определяемом столбцами матрицы $X$: $\Gamma \subset \text{range(X)}$. Вопрос, как показать, что для любого числа $L$ множество $\Gamma$ содержит $p$-мерный шар радиуса $L$, то есть существует $\gamma^{\ast} \in \Gamma$ такое что:

$$B(\gamma^{\ast}, L) \subset \Gamma, $$

где $B(\gamma^{\ast}, L)$ это шар радиуса $L$ в пространстве $\text{range(X)}$ с центром в $\gamma^{\ast}$.

Если предположить, что столбцы $X$ ортогональны, то это легко сделать.

[demolishka]

Отображение $X \colon \mathbb{R}^{p} \to \operatorname{Ran}X$ не вырождено и потому открыто, а множество $\mathcal{M}$ (и потому $\Gamma$) инвариантно относительно растяжений в $\lambda>0$ раз.