масса пластинки

[Мироника]

Пластина задана ограничивающими ее кривыми. $\mu$ - поверхностная плотность. Найти массу пластины
$D$: $x^2+y^2=4$, $x^2+y^2=25$, $x \geqslant 0$, $y \leqslant 0$, $\mu=\frac {2x-3y} {x^2+y^2}$
Я тут вот что делаю

$M=\int _{0}^{5} dx \int_{-\sqrt {25-x^2}}^{0} \frac {2x-3y} {x^2+y^2} dy -\int _{0}^{2} dx \int_{-\sqrt {4-x^2}}^{0} \frac {2x-3y} {x^2+y^2} dy$
Далее вычисления получаются не очень хорошие. Может можно проще?

[Henrylee]

Естественная мысль: в полярных координатах не проще ли?

[nckg]

Попробуйте посчитать в полярных координатах.

[Henrylee]

В одну строчку..

[TOTAL]

Мироника писал(а):

Далее вычисления получаются не очень хорошие. Может можно проще?

Интегрируйте в полярной системе координат.

[nckg]

Henrylee меня опередил)

[Мироника]

$x=r \cos \varphi$, $y=r \sin \varphi$
$\mu=\frac {2 \cos \varphi -3 \sin \varphi} {r}$
$M=\int _{-\pi/2} ^{0} d \varphi \int _{2}^ {5} \frac {2\cos \varphi -3\sin\varphi} {r} r dr=$
$=\int _{-\pi/2} ^{0} d \varphi \int _{2}^ {5} 2\cos \varphi -3\sin\varphi dr=$
$=\int _{-\pi/2} ^{0} (2\cos \varphi -3\sin \varphi)r |_{2} ^{5} d \varphi =$
$=3\int _{-\pi/2} ^{0} (2\cos \varphi -3\sin \varphi)d \varphi =$
$=3 (2\sin \varphi +3\cos \varphi) |_{-\pi/2} ^{0}=15$
Так?

[TOTAL]

Мироника писал(а):

Так?

Так.

[Мироника]

спасибо всем