Задача про площадь поверхности куба

[Everest]

Прошу помощи в решении следующей задачи.

От каждого угла деревянного кубика с ребром $1$, поверхность которого покрашена в синий цвет, отпилили пирамиды так, что в результате остался четырнадцатигранник, у которого выкрашенные грани $-$ прямоугольники, а невыкрашенные $-$ равносторонние треугольники (необязательно одинаковые). Оказалось, что у этого четырнадцатигранника общая площадь невыкрашенной поверхности в $\sqrt{3}$ раз больше, чем общая площадь его выкрашенной поверхности $S$ . Чему равна $S$?

Решаю следующим образом. В общем виде, могут получиться только два вида одинаковых равносторонних треугольников (неокрашенные грани). Пусть их стороны $x$, $y$, тогда, зная формулу площади для равностороннего треугольника, получаем уравнение $\frac{\sqrt{3}(x^2+y^2)}{6xy}=\sqrt{3}$, откуда $x^2+y^2=6xy$. Необходимо найти $6xy$. Но вот что делать дальше? Я пытался обозначать отрезки до точек отпила через разные переменные (в сумме они давали $1$) и составлять соотношения для подобных треугольников, но никак не могу понять, что еще упускаю.

[gris]

Можно найти сумму $x+y$. И её немножко возвести.

[Everest]

gris, а как?

[gris]

Ну посмотрите любую грань. Видите, как прямоугольник проецируется на ребро квадрата? Заодно посмотрите на отпиленную вершину куба. Там равносторонний треугольник.

[Everest]

gris, вот схематично полученная развёртка. Всё равно не понимаю пока, где взять еще какие-нибудь данные.

[gris]

Посмотрите, как наклонены стороны прямоугольника по отношению к стороне квадратной грани? На развёртке каждая сторона прямоугольника отсекает от своей грани прямоугольный треугольник. А каков он ещё и почему?

[Everest]

gris, Вы про то, что этот прямоугольный треугольник равнобедренный еще? Но почему так? Не понимаю, как это строго доказать.

[gris]

хорошо, что у вас нарисована развёртка. посмотрите на три соседние квадрата с общим углом. И в этом углу соседствуют три прямоугольных треугольника. Что можно сказать про их гипотенузы? Про их катеты? и если обозначить в любом треугольнике одик катет буквой $a$,а другой $b$, что мы получим при скпеивании куба?

[Xmas]

Everest, любопытная задача. В условиях сказано "треугольники необязательно равные". Что, если сначала исследовать случай, когда один треугольник переменных размеров, а 7 остальных - бесконечно малые? Возможно, это позволит увидеть решение в другом ракурсе. Я не то, чтобы "указываю". Просто соображение, с чего бы пробовал лично я.
Ну и я бы сразу повернул куб "боком", чтобы типовые оси "x,y,z" проходили через вершины куба. Тогда треугольники будут параллельны координатным плоскостям, и формулы для оценки площади треугольников упростятся (площадь можно будет найти по пропорции, через квадрат расстояния от начала координат)

[gris]

Xmas, не может быть такого.

[Xmas]

gris, если Вы про достижение нужного отношения площадей, то там, да, всякое может быть. Или не быть. Я просто кручу модель в надежде найти более выгодный ракурс. Попробую тоже нарисовать.

Да, моя предложенная мысль была весьма нелепа и некорректна. Займусь работой над ошибками :)

[gris]

я имею в виду то, что если один треугольник с малюсенькими сторонами, то и три других ему равны, а остальные тоже равны между собой и с большими сторонами

[Xmas]

gris, это меня задача увлекла, и я неясно выразился насчёт всего (мой, к сожалению, недостаток). Но одно забавное решение я вроде вижу. Надо только нарисовать. Оно, может, неверное, но это мы быстро обнаружим.

[Everest]

gris, спасибо!

Далее после доказательства, что эти треугольники еще и равнобедренные, получается все достаточно легко и итоговый ответ вышел $1,5$. Огромное спасибо еще раз!

[Xmas]

Вот мой план решения. Обследуем отпиленный угол. Это тетраэдр, у которого основание - равносторонний треугольник, и углы между рёбрами при вершине $90^\circ$.


Площадь боковых граней $3\ell^2/2$. Площадь основания $\ell^2 \sqrt{3}/2$. Всякий отпиленный угол забирает из куба площадь боковых граней и взамен добавляет площадь основания. То есть, добавленная некрашеная площадь всегда в $\sqrt{3}$ меньше отнятой крашеной.

Исходная крашеная площадь задана. Она была равна 6.
Пусть добавленная некрашеная площадь равна $A$. Тогда оставшаяся крашеная площадь
$S=6-A\sqrt{3}$.

Задано, что $A/(6-A\sqrt{3})=\sqrt{3}$. Решая уравнение, можно получить, что $A=3^{3/2}/2$. Соответственно, искомая площадь $S = 6-3^{3/2}\cdot 3^{1/2}/2=6-9/2=3/2$.