Оценка интеграла с произведением синусов

[DiMath]

Доброго времени суток!

Пусть даны вещественные $\theta_1, ..., \theta_s$ и $N \in \mathbb{N}$. Рассмотрим интеграл

$$I(N) = \int_{0}^{1} \prod_{j=1}^s \frac{\sin(\pi z\theta_j N)}{\sin(\pi z\theta_j)}dz$$

Необходимо найти нетривиальную оценку сверху порядка $N^{s-1-\delta}$. Встречал ли кто-то что-то подобное? Наверняка есть сборники подобных соотношений, но гугл не помог.

Например, если взять $s=2$ и $\theta_1 = \theta_2$, то пользуясь тождеством Парсеваля можно быстро найти $I(N) \ll N$. Это оценка хуже, чем я указывал выше, но даже это непонятно как обобщать...

Я знаю как оценивать интеграл, предполагая, что среди $\theta_j$ найдется хотя бы одно иррациональное, но моей целью как раз является избежать подобных условий.

Спасибо!

[DeBill]

DiMath в сообщении #1423824 писал(а):

Я знаю как оценивать интеграл, предполагая, что среди $\theta_j$ найдется хотя бы одно иррациональное, но моей целью как раз является избежать подобных условий.

Боюсь, что желаемой оценки - при игнорировании условий соизмеримости между тэтами - не получить.
Напр., вблизи нуля ( на отрезке $[0, \frac{k}{N}], k$ определяется тэтами) функция - порядка $N^s$, так что, если вклад от этого кусочка не подавляется имеющимися где-то "отрицательными всплесками", то интеграл будет иметь порядок $N^{s-1}$. В частности, это будет так при $s=2, \theta_1=\theta_2$ - что, кстати, противоречит

DiMath в сообщении #1423824 писал(а):

можно быстро найти $I(N) \ll N$.

Дроби Ваши - это , типа, ядро Дирихле. А при $s=2, \theta_1=\theta_2 = 1$- ядро Фейера (и в этом случае интеграл явно считается, и (почти) в точности равен $N$ (с какой-то константой, типа - 2, при нечетных $N$) (я посматриваю в Зорича, т.2, г.18))

[DiMath]

Для случая $s=2,\theta_1=\theta_2 = \theta$ имелось ввиду следующее:

$$\int_0^1\left(\frac{\sin(\pi\theta z N)}{\sin(\pi\theta z)}\right)^2 dz = \int_0^1 \left|\sum_{m=1}^N e(m\theta z) \right|^2 dz = \frac{1}{\theta}\sum_{m,n=1}^N\int_0^\theta e(z(m-n))dz$$

Теперь, если воспользоваться периодичностью $e(z) = \exp(2\pi i z)$ и дополнить отрезок интегрирования до $\lceil\theta\rceil$, получим

$$\leqslant \frac{\lceil\theta\rceil}{\theta}\sum_{m,n=1}^N \delta_{m,n} = \frac{\lceil\theta\rceil}{\theta}N.$$

Так что моя оценка верна (под $\ll$ я подразумеваю знак Виноградова.)

В общем случае Вы верно подметили, что в области $\mathfrak{M} = \{z: |z| < PN^{-1}\}$, где $P = N^\nu$,

$$\frac{1}{N^{s-1}}\int_\mathfrak{M} \left|\prod_{j=1}^s \sum_{m=1}^N e(m\theta_j z)\right| dx = O(1),$$

а меня как раз интересует оценка вне этой области, а именно $\mathfrak{m} = \{z: PN^{-1} < |z| \leqslant P\},$ потому что для области $|z| > P$ нужная оценка получается тривиально (комбинация леммы Хуа и неравенства Гёльдера). Если среди $\theta_j$ есть иррациональное, то для области $\mathfrak{m}$ строят специальную последовательность $N$, связанную со знаменателями приближений к такому $\theta$, показывая в итоге $\ll N^{s-1-\delta}$.

Меня интересует подобная оценка пусть даже неправильного порядка, но имеющая понижающей (или нет) множитель со степенью зависящей явно от $\theta_1,...\theta_s$.

[mihiv]

Нужны дополнительные условия на $\theta _i$, т.к. если выбрать $\pi N\theta _i\ll 1, i=1,\dots ,N$, то синусы в произведении можно заменить их аргументами, и получим $I(N)\approx N^s$.

[DiMath]

mihiv, $\theta_i$ - фиксированные числа.