Детская задачка

[PETIKANTROP]

Так, для потехи.
Жили-были тетя Маша с дядей Пашей, счетоводом-любителем. Как-то раз звонит Паша Маше и молвит голосом человеческим:
- Не смогу я сегодня отведать пирогов твоих горячих. Вызвали меня срочно на пленум животноводов-дояров.
- Ну, и как ты сейчас далеко от меня?- нащупав скалку, спрашивает Маша.
- В 35 раз дальше, чем был в 16 раз ближе к вокзалу, что в 25 километрах.
Помогите тете Маше по-доброму ответить дяде Паше.

[wrest]

42?

[PETIKANTROP]

Как у вас так получилось?

[gris]

ну если в простейшем случае, на пальцах, то считовод удрал на 250-750 км, в зависимости от того как там он пошёл или поехал. Можно геометрически на плоскости порешать, но мне 42 больше нравится.

[PETIKANTROP]

Я, конечно, не страдаю ни ханжеством, ни перфекционизмом, не против использования вкусовых и экстралингвистических факторов в решении математических задач, но чтобы ответ "42" мне понравился больше, чем указанный вами интервал, он должен быть хоть как-то обоснован.

[gris]

Вот Вы в мaтематической задаче используете фольклорные элементы, а постановка допускает интерпретации. Я утром попытался без бумажки и немного уехал. Вот пришёл с ручкой и тетрадочкой, нагулявшийся и голодный. Попробую изложить. Вокзалы, поезда, траектории отметём. О них ничего полезного не сказано.
Есть две постоянные точки А и В. И две подвижные точки Х и У.
Известно: $R(A,B)=25; R(A,X)=35R(A,Y);R(B,X)=16R(B,Y).$
Добавим неравенства треугольника и вперёд.
Надо бы подумать об аналитической геометрии.
Утром я порассуждал о простейшем случае на прямой.
Но и системой двух уравнений получается. Пусть
$R(A,X)=x;R(A,Y)=y; R(B,X)=|x+a|;R(B,Y)=|y+b|;$
$|a|,|b|\leqslant 25;x,y\geqslant 0.$
$x=35y; |x+a|=16|y+b|\Rightarrow$
$|x+a|=16|x/35+b|;x+|x+a|\geqslant 25;x/35+|x+a|/16\geqslant 25.$

Ну возьмём частные случаи на прямой.
$a=-25;b=-25 \Rightarrow x=291.(6);y=8.(3)$ Это считовод пошёл на станцию, через восемь км посидел на пенёчке, прошёл ещё семнадцать км и поехал дальше.
$a=25;b=25 \Rightarrow x=690;y=19$ Это считовод пошёл не на станцию, через девятнадцать км посидел на пенёчке, прошёл ещё шестьсот семьдесят км завяз в болоте и позвонил.
Есть и промежуточные варианты, когда дорога налево сворачивает. Эллипсом пахнет.

[PETIKANTROP]

gris
Женской хитрости и коварства, а возможно, еще и недальновидности, мне не занимать. С коэффициентами и отрезками в 8км. и 17км. вы разобрались верно. Но "...от меня ?" подразумевало нахождение вокзала в том месте, где у вас пенек, а "...,что в 25 км." - промежуточную станцию. Поэтому система есть, но результат маленько не такой.

gris в сообщении #1423892 писал(а):

Есть и промежуточные варианты, когда дорога налево сворачивает.

Это интересно. Ведь в задаче не уточняется, что искать: пройденный путь или вектор перемещения.

[gris]

Если честно, то я хотел интерпретацию, при которой счетовод бы сидел за печкой и доедал пироги. Ну а так непонятно: где имение, и где вокзал, а где пенёк. Что понимать под расстоянием. Дети более догадливы, конечно. Им не привыкать к загадкам.

[waxtep]

PETIKANTROP в сообщении #1423798 писал(а):

В 35 раз дальше, чем был в 16 раз ближе к вокзалу, что в 25 километрах

Раз наверное двадцать пытался распарсить, и не могу От кого до кого 25 км? Что значит "дальше, чем был ближе"?

[PETIKANTROP]

waxtep в сообщении #1424003 писал(а):

От кого до кого 25 км? Что значит "дальше, чем был ближе"?

gris раскрыл ведь уже интригу.
Начнем с конца.
Когда Паша находился в 25 километрах от Маши, это было в 16 раз ближе к вокзалу по пути от Маши до Паши. А сейчас Паша находится в 35 раз дальше, чем от Маши до вокзала.

[gris]

А интрига в том, что в задаче не требуется найти расстояние, а только помочь Маше ответить Паше по-доброму. Ведь услышав от него этакую фразу, она сразу всё поймёт.
Мой ответ: "Пашечка, ложись баиньки, не пей больше, счетоводик ты мой."

[waxtep]

Текст gris я тоже не смог осознать; в эти дни я, видимо, совсем тупенький, потому что по-прежнему не уверен в как минимум двух моментах:

PETIKANTROP в сообщении #1424007 писал(а):

это было в 16 раз ближе к вокзалу

ближе чем что? Т.е. от Паши до Маши было $25$ км, а от Паши до вокзала в $16$ раз меньше, иными словами, $25/16$ км?

PETIKANTROP в сообщении #1424007 писал(а):

Паша находится в 35 раз дальше

дальше от чего? Т.е. сейчас от Паши до Маши в $35$ раз дальше, чем от Маши до вокзала?
Ну, тогда смело предположив неподвижность Маши и особенно вокзала, без учета кривизны поверхности Земли, получим $875\pm54,6875$ км, - скалка потребуется дальнобойная, баллистическая!

[Dendr]

Вообще получается так: поместим т. Машу в начало координат, а вокзал - в точку (1, 0). (переопределим единицы измерения, если что) Без ограничения общности можно полагать, что все действие происходит в верхней полуплоскости.

Рассмотрим начальное положение д. Паши - на окружности с центром в начале координат и радиусом $r$. От вокзала он может в таком случае находиться на расстоянии $\left\lvert r-1\right\rvert <d<r+1$.
Конечное его положение, в трактовке gris - на окружности с радуисом $R=N_1r$, но не в любой точке, а внутри кольца $N_2\left\lvert r-1\right\rvert <D<N_2(r+1)$.
Для каждой точки расстояние до вокзала определено как начальное, так и конечное - это уже окружности, поэтому преобразование взаимно-однозначное.

Условие перекрытия, естественно, это выполнение неравенства $\left\lvert R-1\right\rvert <D<R+1$.
Ну, то есть, получаем два неравенства:
$N_2\left\lvert r-1\right\rvert<N_1r+1$
$\left\lvert N_1r-1\right\rvert<N_2(r+1)$

При "очень маленьком" начальном радиусе имеем невыполнимое первое неравенство:
$N_2<1$
Поэтому существует минимальный начальный радиус:
$N_2-1=(N_1+N_2)r$
При этом д.Паша сперва находился ровно между т. Машей и вокзалом (конкретно, на расстоянии 5/17), а потом прошмыгнул мимо нее и очутился все на той же прямой, но позади ее, ускакав аж на 175/17 в отрицательные абсциссы.
При чуть большем радиусе д. Паше "позволяется" стартовать из точек не только на оси абсцисс, но и слегка отстоящей от нее.

Пропустим единичный радиус пока.

Наоборот, при "очень большом" начальном радиусе должно выполняться одновременно:
$N_2r<N_1r$
$N_1r<N_2r$
Что тоже недостижимо при любых коэффициентах. Предельный радиус:
$(N_1-N_2)r<N_2+1$
Здесь наоборот, уже т. Маша находилась между д. Пашей и вокзалом (а тот был от нее на расстоянии 17/19), а потом тот проскочил и т. Машу, и вокзал, устремившись до координаты 595/19.

Собственно, далее должно быть вычисление образующих ГМТ начального положения д. Паши. Их должно быть две, обе соединяют точки (5/17, 0) и (-595/19, 0). В общем случае: $(\frac{N_2-1}{N_1+N_2}, 0); (-\frac{N_2+1}{N_1-N_2}, 0)$
Поскольку тригонометрические функции тянутся за всем, то образующие ожидаются эллипсами с одинаковой продольной полуосью. И вот между ними (эллипсами) и находился д. Паша изначально. Это ГМТ гомоморфится в аналогичное, только с выворачиванием, так что д. Паша снова находится внутри серповидной фигуры.

Однако в задаче не требуется точное вычисление ГМТ, а нужно помочь т. Маше с репликой. Ну что же, можно порекомендовать ей убрать скалку обратно на полку, но посулить д. Паше применение... да-да, того самого серпа.

[miflin]

(Оффтоп)

PETIKANTROP в сообщении #1423798 писал(а):

Вызвали меня срочно на пленум животноводов-дояров.

А вот интересно - если бы вызвали на пленум почвоведов - правильный ответ был бы другой?

[PETIKANTROP]

miflin в сообщении #1424380 писал(а):

(Оффтоп)

PETIKANTROP в сообщении #1423798 писал(а):

Вызвали меня срочно на пленум животноводов-дояров.

А вот интересно - если бы вызвали на пленум почвоведов - правильный ответ был бы другой?

угу. Вошел бы в поле несвободных векторов.