Непрерывная функция

[EnotikOreo]

Здравствуйте!
Помогите с задачкой разобраться.
Пусть $\alpha\in (0,1)$ не равно никакому $1/n, n \in \mathbb{N}$. Приведите пример непрерывной функции $\mathfrak{f}: [0,1] \to \mathbb{R}$, которая имеет равные значения на концах отрезка $\mathfrak{f}(0) = \mathfrak{f}(1)$ и такой, что уравнение

$$\mathfrak{f}(x+\alpha) = \mathfrak{f}(x) $$

не имеет решений.
Думаю над задачей 2 недели, здравых идей нету. Все идеи приводят к прямой $\mathfrak{f}(x) = C $.

[arseniiv]

Ну вот давайте возьмём пока $\alpha\in(\frac12; 1)$, возьмём $f(x) = \sin 2\pi x$, годится? А почему?

[gris]

ну как же? для постоянной функции решения как раз есть.
можно, кстати, принять значения на концах равными нулю для определённости.
а чем именно мешают исключённые значения альфы? попробуйте построить пример для
$\alpha=0.6$

[arseniiv]

gris в сообщении #1423648 писал(а):

а чем именно мешают исключённые значения альфы?

Я так понял, они намекают на решения определённого вида, хотя это пока всё в голове и скорее всего схема, пришедшая в голову, не обязательно доводится до ума.

[gris]

arseniiv, я просто подумал, что это натолкнёт ТС на попытки решения. ну а так, ясно, в чём особенность этих альф
ещё можно нарисовать область определения уравнения. кстати, оно же рассматривается при фиксированной альфе? и вообще просто порисовать график функции

[EnotikOreo]

Имеется в виду, что для любого $\alpha$ нужно найти функцию, его нельзя выбирать.

[DeBill]

arseniiv в сообщении #1423650 писал(а):

Я так понял, они намекают на решения определённого вида

Не, для исключенных альфов утверждение неверно (решения всегда есть)

-- 03.11.2019, 02:17 --

EnotikOreo в сообщении #1423658 писал(а):

Имеется в виду, что для любого $\alpha$ нужно найти функцию, его нельзя выбирать.

Ну, да, надо - для любых (кроме запрещенных). Но Вам предлагают попробовать искать функцию для конкретных - чтоб, научившись делать для них, и осознав возникающие проблемы, сочинять уже далее примеры и для более-менее любых.
Также полезно посмотреть (о чем Вам уже говорили), чем же нехороши запрещенные альфы (для них уравнение всегда имеет решения, это несложно получить из теоремы о промежуточном значении): доказательство существования решения (для запрещенных) не должно проходить для разрешенных альфов - и это может помочь при сооружении соответствующего примера.