Способы расстановки цифр в таблице

[fedro]

Сколькими способами можно заполнить цифрами 0, 1, . . . , 9
(можно с повторениями) таблицу $3 \cdot 3$ так, чтобы сумма цифр в каждой строке и каждом
столбце равнялась 4?
Понятно, что участвовать будут только цифры от 0 до 4, явно надо решать применяя формулы комбинаторики. Но как именно пока не понял.
Пробовал строить дерево возможных вариантов при наличии "3" в таблице, но это явно не то что нужно.
при наличии ряда из 4;0;0 получилось 33 варианта
при наличии ряда из 3;1;0 получилось 108 вариантов
при наличии ряда из 2;2;0 получилось 54 варианта
дальше я понял что случаи с этими вариантами строчек пересекаются, поэтому пробовать решать через них бесполезно. а другого варианта классификации возможных случаев пока не вижу. Возможно, всё получится с другим вариантом разделения вариантов на группы. но придумать его не получается.
Не понятно, как согласовать требования и к строчкам и столбцам для использования формул.

-- 02.11.2019, 10:13 --

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- уберите второй экземпляр условия.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 02.11.2019, 13:13 --

В таких задачах надо начинать с обдумывания того, как сократить возможный перебор вариантов. Начните, например, с ответа на такой вопрос: сколько нужно задать чисел в таблице (и каких именно), чтобы все остальные определялись по ним единственным образом? Для начала можно чуть расширить условие - набор чисел должен задавать не более чем одну возможную расстановку остальных (или быть таким, что никакая расстановка остальных условию задачи не удовлетворяет).

[fedro]

Это да, четыре угловые клетки полностью определяют всю расстановку таблицы. Вариантов расставить в них цифры 0,1,2,3,4:
$(5^4-5-5 \cdot4/2 \cdot2)/4+5+5 \cdot4/2=165$
но надо ещё как-то учесть варианты, когда соседние пары цифр в сумме дают более 4. это 4;1 4;2 4;3 4;4 3;3 3;2 надо как-то найти количество расстановок, в которых такие пары присутствуют

[Pphantom]

fedro в сообщении #1423757 писал(а):

Это да, четыре угловые клетки полностью определяют всю расстановку таблицы.

Да, например (мне больше нравится блок $2 \times 2$ в одном из углов, но это дело вкуса).

fedro в сообщении #1423757 писал(а):

Вариантов расставить в них цифры 0,1,2,3,4:
$(5^4-5-5 \cdot4/2 \cdot2)/4+5+5 \cdot4/2=165$

Ой ли? Если ограничение по сумме пока не рассматривать, то вариантов будет $5^4=625$. А если учитывать, то нужно еще немного подумать. Допустим, мы сначала задаем два числа в диаметрально противоположных углах таблицы...

[fedro]

165 я получил, отбрасывая варианты, получающиеся друг из друга при повороте таблицы. наверно это не нужно. если не переворачивать, то да, 625. Задавая вначале числа в противоположных углах, получаем 25 возможных пар.

в 9 парах из них максимальная цифра 4, поэтому единственный возможный вариант дозаполнить эти 4 клетки- заполнение нулями-1 вар
в 7 парах максимум 3 значит дозаполняем цифрами 0,1 - 4 вар
в 5 парах максимум 2 значит дозаполняем цифрами 0,1,2 - 9 вар
в 3 парах максимум 1 значит дозаполняем цифрами 0,1,2,3 - 16 вар
в 1 паре оба числа нули значит дозаполняем цифрами 0,1,2,3,4 - 25 вар

$9\cdot1+7\cdot7+5\cdot9+3\cdot16+1\cdot25=155$

-- 03.11.2019, 21:15 --

но у меня здесь явно ошибка, тк не учтено, что если например во всех четырёх клетках нули, в дальнейшем таблицу заполнить явно не удастся. суммы цифр в тех строчках/столбцах, где нет определённых нами клеток окажутся 8 или более, что нам явно не подходит. видимо я какое-то условие пропустил, что посторонние решения получаются.

[Pphantom]

fedro в сообщении #1423787 писал(а):

165 я получил, отбрасывая варианты, получающиеся друг из друга при повороте таблицы. наверно это не нужно

Так можно, но, пожалуй, не нужно. Сами себе усложните жизнь.

fedro в сообщении #1423787 писал(а):

Задавая вначале числа в противоположных углах, получаем 25 возможных пар.

Да. Причем эти числа друг с другом не связаны и могут быть любыми.

fedro в сообщении #1423787 писал(а):

но у меня здесь явно ошибка, тк не учтено, что если например во всех четырёх клетках нули, в дальнейшем таблицу заполнить явно не удастся.

Ну скорее не ошибка, а неучет еще одного условия. Но да, его нужно добавить. И вот тут, кстати, стоит вспомнить, что матрицу можно отображать зеркально относительно диагонали (в т.ч. и той, где у нас стоят первые два числа), это позволит упростить поиск четвертого числа по третьему.