Миленький маленький покер

[EUgeneUS]

(Не знаю, насколько подходит для олимпиадного раздела. Если не подходит - просьба перенести в подходящий)

1. Играют двое: "первый" и "второй".
2. Колода состоит из трех карт: валета, дамы и короля. Старшинство карт традиционное.
UPD: 2-1 до раздачи каждый ставит по одой монете в банк.
3. Каждому честный банкомет раздает по одной карте. Игроки знают свою карту, карту соперника не знают. Третья не открывается.
4. Начинает "первый".
4.1. Он может сказать пас. Тогда, "второй" забирает банк и раунд заканчивается.
4.2. Либо сыграть - поставить одну монету в банк.
5. Если "первый" сыграл,
5.1. То "второй" может сказать пас. Тогда "первый" забирает банк и раунд заканчивается.
5.2. Либо "ответить" - тоже поставить одну монету в банк. Тогда карты вскрываются, банк забирает тот, у кого карта старше.

Игра повторяется много раз, возможны смешанные стратегии.

Вопросы:
1. С какой вероятностью будет играть "первый", если у него на руках валет?
1б. В каком проценте таких случаев он выиграет?
2. С какой вероятностью будет играть "первый", если у него на руках дама?
2б. В каком проценте таких случаев он выиграет?

(Оффтоп)

2 и 2б решил быстро.
А вот над 1 и 1б пришлось повозиться.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1423530 писал(а):

Миленький маленький покер

Падал с опущенных плеч ...

EUgeneUS в сообщении #1423530 писал(а):

1. С какой вероятностью будет играть "первый", если у него на руках валет?

Зависит от его тараканов, наверное. Особо упоротый будет играть каждый раз, или пасовать каждый раз.

Видимо подразумевался вопрос про оптимальную стратегию?

[EUgeneUS]

Dan B-Yallay
Конечно, игроки предполагаются рациональными

[Connector]

EUgeneUS в сообщении #1423530 писал(а):

С какой вероятностью будет играть "первый", если у него на руках дама?

Не понимаю, как подойти к определению этой вероятности. Если "первый" сыграет, то с вероятностью $50 \%$ он потеряет две монеты, с такой же вероятностью выиграет одну. Если же "первый" скажет пас, он проиграет одну монету. Можно, действительно, найти оптимальную стратегию, но какова вероятность, что он будет ей следовать?..
И, если найти вероятность из пункта 2, с пунктом 1 будет понятно как действовать.

[EUgeneUS]

Connector
Вы знаете, что такое смешанные стратегии?

[Connector]

EUgeneUS, да; вот теперь понял, в чем состоит задача...

EUgeneUS в сообщении #1423530 писал(а):

возможны смешанные стратегии.

Точно, у Вас же было прямое указание на это. И на то, что игра повторяется много раз. Упустил из виду...

[Shadow]

Если нигде не ошибся в логике (еще и в арифметике), если первый с вероятностью $p$ блефует с валетом, а второй с вероятностью $q$ играет, когда у него дама, рассмотрев все 6 равновероятныe события, получилось матожидание выигрыша первого:

$M=\dfrac 1 6 (p+q-3pq-1)$

Первый хочет максимизировать (выбирая значение для $p$), второй-минимизировать (выбирая $q$) матожидание.
Так как при $p=\dfrac 1 3$ или $q=\dfrac 1 3$ данное выражение - константа, то так и будет.

$p=q=\dfrac 1 3,\;M=-\dfrac 1 9$

[EUgeneUS]

Shadow
У меня получился несколько другой ответ. Первый блефует с валетом с вероятностью $2/3$, а второй пытается ловить блеф с дамой с вероятностью $1/3$.
В выражении для $M$, то ли у $p$, то ли у $q$ (листок с решением не под рукой) у меня получилась двойка, а остальном, так же.

Но также мог ошибиться в арифметике

З.Ы. пытался придумать задачу, в которой блефовать выгодно. Вот и придумал. Но сам не ожидал, что рациональная вероятность блефа окажется такой большой.

ЗЫЫ. А как Вы решали? Я рисовал матрицу игры $6\times6$, вычеркивал "запрещенные" клетки, потом определял детерминированные (там где решение в чистых стратегиях) стратегии, осталось две смешанные, и только потом записал $M$. Но как-то громоздко выглядит.

[Shadow]

Я исходил от того, что при оптимальных стратегиях, если у первого валет - он блефует с вер. $p$ (при любой другой карте играет без вариантов). А также интересен случай, когда у второго - дама и первому хочется играть. И тогда второй играет с вер. $q$
Другие случаи рассматривать не буду - они не интересны (да и сумма их матожиданий равна нулю). Рассмотрю только:
валет-король
валет-дама
король-дама

Матожидание выигрыша первого в трех случаях
валет-король
$p\cdot(-2)+(1-p)\cdot(-1)=-p-1$

валет-дама
$p\cdot\left[q\cdot(-2)+(1-q)\cdot 1\right]+(1-p)\cdot(-1)=-3pq+2p-1$

король-дама
$q\cdot 2+(1-q)\cdot 1$

Сложив все получается $p+q-3pq-1$

Если $p> 1/3$ мне кажется, что с дамой второму выгоднее играть всегда.
Кажется...

[Sender]

Хм, у меня получилось, что первый с валетом на руках играет с вероятностью $\frac{1}{3}$, с дамой - играет всегда. В свою очередь, второй с дамой играет с вероятностью $\frac{1}{2}$ и в среднем за кон выигрывает у первого $\frac{1}{9}$, т.к. основывает свою стратегию в том числе и на поведении первого.

-- Сб ноя 02, 2019 22:18:57 --

Shadow в сообщении #1423652 писал(а):

Если $p> 1/3$ мне кажется, что с дамой второму выгоднее играть всегда.

Ага. А если $p<1/3$, то выгоднее не играть никогда.

[DeBill]

Sender
Не, правильно у Shadow...
Забавно, что игра выгоднее для второго...
EUgeneUS
Я давал - в качестве курсовой работы - эту задачу для четырех карт студенту, который подсел на покер. Ну, что-то он сделал, и даже защитился....

[Утундрий]

(Оффтоп)

Вы мне лучше расскажите как реализовывать на практике (в уме) эти ваши случайные броски.

[Sender]

DeBill в сообщении #1423666 писал(а):

Не, правильно у Shadow...

Ай, да... Минимум-то $M$ при $q=1/2$ достигается, но нарушается условие минимакса. На вольфрама надейся, а сам не плошай.
А вот как раз в том, что у второго игрока преимущество, нет ничего удивительного - он более информирован.

[Sender]

Мне более любопытным видится тот факт, что, стоит одному хоть на йоту отступить от оптимальной стратегии, оптимальная стратегия второго претерпевает квантовый скачок в крайнее положение.

[EUgeneUS]

DeBill в сообщении #1423666 писал(а):

Я давал - в качестве курсовой работы - эту задачу для четырех карт студенту, который подсел на покер. Ну, что-то он сделал, и даже защитился....

Повезло Вашему студенту.
Если игра такая же, но колодой из 4-х карт, то, если решать через таблицу игры, получается таблица из $(4 \times 2)\times(4 \times 2)=64$ клеток. Большая часть из которых оказывается "запрещенными" (одинаковых карт у игроков быть не может, если первый пасовал, то второй не может играть...).
В результате, аккуратно нарисовать таблицу, после чего записать функцию полезности - дело нескольких часов, примерно.

Интересно как можно бы было решать (какие методы решения применимы, ибо табличный в описанных ниже вариантах точно не подходит) такие варианты:

1. Игра с бесконечной колодой. Каждый из игроков получает какое-то число - значение случайной величины, распределение которой известно. При сравнении выигрывает тот, у кого больше. В остальном процесс игры такой же.

2. Разрешен "чек". В случае, если банк уравнен, игрок (которого ход) может либо поднять ("рейз"), либо сказать "чек" (не поднимать, передать ход). Карты сравниваются, если оба по одному разу подтвердят банк, то есть в таких случаях:
а) начало игры: "чек" - "чек"
б) после рейза: "уравнять" - "чек".

Во втором случае интересно бы было ответить на следующие вопросы:
1. Возникнет ли ситуация, когда выгодно "тайтить крупную кату". То есть ситуация, когда с заведомо самой крупной картой игрок не поднимает банк, а играет "чек". В некоторых учебниках по покеру рекомендуют тайтить двух тузов чуть ли не в четверти случаев.
2. Возникнет ли бесконечная цепочка рейзов?

-- 05.11.2019, 08:17 --

Утундрий

(Ущербность встроенного ГСЧ)

Ущербность встроенного в голову ГСЧ известна.
Поэтому рекомендуют пользоваться "внешними аппаратными ГСЧ" - монеткой (для одной второй) или секундной стрелкой (для любой вероятности).

-- 05.11.2019, 08:25 --

Sender в сообщении #1423698 писал(а):

Мне более любопытным видится тот факт, что, стоит одному хоть на йоту отступить от оптимальной стратегии, оптимальная стратегия второго претерпевает квантовый скачок в крайнее положение.

А мне более любопытным видится вопрос: а существуют ли игры, где так не происходит?
То есть существуют ли игры, где небольшое отклонение одного игрока от оптимальной смешанной стратегии приводит к небольшому отклонению в смешанной стратегии противника?