Размерность векторного пространства без подпространства

[starper]

Известно ли, какая в общем случае размерность n-мерного пространства без k-мерного подпространства? Или от чего это зависит? Просто у меня ощущение, что размерность V\W всегда равна размерности V

[arseniiv]

Без — это как, как разность множеств? Тогда мы получаем в результате не векторное пространство и у него нет размерности — в линейном смысле; разве что вас интересует топологическая?

Ещё можно понимать «без» как факторизацию: факторпространство $V / W$ — это такое пространство, которое получится, если каждое аффинное подпространство $W + \mathbf v$ считать одной точкой (само $W$ мы будем считать нулём, и операции определяются в смысле Минковского). Тогда размерность понижается на $\operatorname{dim}W$.

[Утундрий]

Что такое "пространство без подпространства"?

[starper]

arseniiv
Спасибо за разъяснение! Я подумал, что в задании V/W подразумевается как разность множеств, но там действительно имелось в виду факторпространство.
Тут у меня возник новый вопрос: как доказать, что в любом векторном пространстве найдутся такие $a$ и $b$, что $a+b$ принадлежит $W$, где $W$ - некоторое подпространство

[пианист]

$0 + 0$?

[starper]

пианист
А ещё?

[пианист]

$a + (-a)$ :))
Вы, м.б., обозначите конечную цель? что нужно доказать?

[starper]

Хочется понять, почему размерность факторпространства ниже размерности объемлющего пространства на $dim W$

[пианист]

Например, так: мы же всегда можем выбрать базис так, чтобы (последние) $dimW$ базисных векторов были бы из $W$, сделаем это.
Факторизация это, грубо говоря, считать фактор как бы нулем. Ну и получается, что мы в каждом векторе последние $dimW$ компонент "убиваем".

[iou]

starper в сообщении #1423416 писал(а):

Хочется понять, почему размерность факторпространства ниже размерности объемлющего пространства на $dim W$

Докажите, что если $0 \to A \to B \to C \to 0$ точная последовательность конечномерных векторных пространств, то $\dim B = \dim A + \dim C$. Теперь возьмите каноническую проекцию $V \to V/W$, найдите её ядро и склейте это всё в точную тройку.

[starper]

пианист
Понял, благодарю

-- 01.11.2019, 18:22 --

iou в сообщении #1423438 писал(а):

starper в сообщении #1423416 писал(а):

Хочется понять, почему размерность факторпространства ниже размерности объемлющего пространства на $dim W$

Докажите, что если $0 \to A \to B \to C \to 0$ точная последовательность конечномерных векторных пространств

Не понял, что это значит, это последовательность линейных отображений?

[vpb]

starper в сообщении #1423457 писал(а):

Не понял, что это значит, это последовательность линейных отображений?

Да не парьте себе этим пока голову. Ибо оно вам, скорее всего, и вообще никогда на понадобится, если основная цель, которую Вы в виду имеете -- математические методы в экономике. Если очень охота, то в Кострикине-Манине, в конце 1-й главы.

iou в сообщении #1423438 писал(а):

Теперь возьмите каноническую проекцию $V \to V/W$, найдите её ядро и склейте это всё в точную тройку.

Как-то это противоестественно выглядит. Неужели действительно есть люди, которые узнали, что такое точная последовательность, раньше, чем то, что размерность пространства равна сумме размерностей подпространства и факторпространства ?

starper
Вообще, Ваш вопрос относится к тем, ответы на которые легко узнаются из учебника. Например, второй том Кострикина, или Кострикин-Манин, или Мальцев, Основы линейной алгебры, или Винберг, или Шафаревич-Ремизов. Особенно имея в виду, что, судя по другим темам, Вы достаточно сообразительны. Просто изучайте их, и всё.

[starper]

vpb в сообщении #1423540 писал(а):

Ибо оно вам, скорее всего, и вообще никогда на понадобится, если основная цель, которую Вы в виду имеете -- математические методы в экономике.

Скорее, машинное обучение и нейронные сети, а там многое из математики встречается, поэтому стараюсь пока по максимуму продвинуться, чтобы потом легче было.

vpb в сообщении #1423540 писал(а):

Вообще, Ваш вопрос относится к тем, ответы на которые легко узнаются из учебника. Например, второй том Кострикина, или Кострикин-Манин, или Мальцев, Основы линейной алгебры, или Винберг, или Шафаревич-Ремизов. Особенно имея в виду, что, судя по другим темам, Вы достаточно сообразительны. Просто изучайте их, и всё.

Обычно ищу в Винберге или гуглю, но вопрос темы оказался некорректным, поэтому не смог найти ответа не него. Но спасибо за совет, в Винберге некоторых вещей нет, например факторпространства, поэтому с этого момента буду и к другим учебникам обращаться.