Решения уравнения | 2^x - 3^y | = 1, x,y - целые

[doralx]

Собственно вопрос в том, сколько решений возможно?
И вообще, что известно науке про это уравнение?)

[worm2]

Гипотеза Каталана

[doralx]

Это то, что надо!
Спасибо!!!

[Andrey A]

Но "наименьшие расстояния" между степенями двойки и тройки отыскать можно, если прологарифмировать левую и правую части выражения $2^x \approx 3^y.$
$x\lg 2 \approx y\lg 3$ или $\log_2 3 \approx \dfrac{x}{y}.$ Раскладывая дальше в непрерывную дробь $\log_2 3=1,1,1,2,2,3,1,5,2,...\approx \dfrac{1}{1},\dfrac{2}{1},\dfrac{3}{2},\left ( \dfrac{5}{3} \right ),\dfrac{8}{5},\left ( \dfrac{11}{7} \right ),\dfrac{19}{12},\left ( \dfrac{27}{17}, \dfrac{46}{29} \right ),\dfrac{65}{41},\dfrac{84}{53},...$ получаем
$2^1-3^1=-1$
$2^2-3^1=1$
$2^3-3^2=-1$
$2^5-3^3=5$
$2^8-3^5=13$
$2^{11}-3^7=-139$
$2^{19}-3^{12}=-7153$
$2^{27}-3^{17}=5077565$
$2^{46}-3^{29}=1738366812781$
$2^{65}-3^{41}=420491770248316829$
$2^{84}-3^{53}=-40432553845953101497907$

И т.д. Похожая задача стояла перед создателями темперированного строя: $7$ октав $\approx 12$ квинт ( $2^7 \approx \left ( \frac{3}{2} \right )^{12}$ ), и соответственно $12$ полутонов в октаве.

[Shadow]

doralx в сообщении #1422980 писал(а):

И вообще, что известно науке про это уравнение?)

Известно, что это школьная задачка (на олимпиадную подтянет).

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1423028 писал(а):

Известно, что это школьная задачка

И очень древняя: встречается, например, в книге Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. М.: Просвещение, 1968 (задачи 154 и 155).