Пример кольца у Винберга

[nide9]

Цитата:

Множество всех функций, определенных на заданном подмножестве числовой прямой, является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей относительно обычных операций сложения и умножения функций

Есть ли тут ошибка? У функций, определенных на заданном подмножестве числовой прямой могут быть разные множества значений, а значит не для всех таких функций определена операция умножения. И композиция функций не коммутативна.

[Otta]

Но о композиции нет речи.
Ошибки нет.

nide9 в сообщении #1422913 писал(а):

а значит не для всех таких функций определена операция умножения.

Почему вдруг?

[nide9]

Вроде результат умножения называется произведением, а произведение функций и есть композиция. Или умножение функций - это что-то другое?

[Otta]

nide9 в сообщении #1422916 писал(а):

Или умножение функций - это что-то другое?

Это не композиция.
Произведение синуса на косинус - это $f(x)=\sin x\cos x$, а не композиция. Когда хотят говорить о композиции, говорят о ней. Слова, видите, разные?

-----

При желании, возможности и необходимости, можно групповую операцию определять как композицию, например, для группы поворотов, но тогда об этом говорят явно. Здесь явно сказано: обычное произведение функций. Можете посмотреть в учебниках и справочниках, как оно определяется. Оно просто определяется. Как поточечное произведение значений. Как в сумме, аналогично.

[nide9]

Понял, спасибо