найти все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению

[Ivan 09]

Здравствуйте, наткнулся на задачу, которую обсуждали на форуме. Показалась интересной, попытался решить самостоятельно.
Задание звучит так.
Найти все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению.
$x^2 - 2xy-3y^2+2x-y+3=0$
Мое решение.
выделил полный квадрат и преобразовал к виду.
$(x-y)^2=4y^2+y-(2x+3)$
то, что стоит в правой части, решил как квадратное уравнение относительно $y$.
получил
$y_1=\frac{-1+\sqrt{32x+49}}{8}$

$y_2=\frac{-1-\sqrt{32x+49}}{8}$

Одно решение нашел довольно быстро.
из первого уравнения $(1;1)$
как найти остальные решения? и как потом доказать что других нет, если говорить о переборе.

[Shadow]

Ivan 09 в сообщении #1422877 писал(а):

то, что стоит в правой части, решил как квадратное уравнение относительно $y$.

Зачем???? А если значение правой части $25$, и левой тоже $25$?
Решайте уравнение в исходном виде как квадратное относительно $x$

[Ivan 09]

Shadow
спасибо за ответ. Но у меня остался вопрос
если решить исходное уравнение как квадратное уравнение относительно $x$, получим
$x_1= y-1+\sqrt{4y^2-y -2}$
$x_2= y-1-\sqrt{4y^2-y -2}$
$y=1$ не трудно сделать подбором.
отсюда пары $(1;1)$ и $(-1;1)$
остальные два решения тоже понятны. Сделаем так что под корнем остался $4y^2$, то есть $y=-2$
из этого найдем другие пары $(1;-2)$ и $(-7;-2)$
как показать, что других решений нет?

[Shadow]

Осталось узнать при каких целых $y$, выражение $4y^2-y-2$ будет квадратом. Смотрите:
$4y^2$ - квадрат
$4y^2-4y+1$ - тоже квадрат-сосед. Между ними квадратов нет, а $4y^2-y-2$ почти всегда там.

[dmd]

$x^2 - 2xy-3y^2+2x-y+3=0 \implies (8 y - 1)^2 - (4 (x - y + 1))^2 = 33$

Для такого сочетания разности квадратов возможны только 4 решения.

[Shadow]

(Оффтоп)

$4y^2-y-2=(2y-k)^2$

$y=\dfrac{k^2+2}{4k-1}$

(все решения в рациональных числах)

В целых:
$16y=4k+1+\dfrac{33}{4k-1}$

$(16y-4k-1)(4k-1)=33$

как вариант

[Ivan 09]

dmd
Спасибо, стало понятно. Такой вопрос возник, а как именно дошли до разности квадратов? Я раскрыл скобки и в итоге получилось исходное уравнение. Но вот как именно до этого дойти мне пока непонятно (как прийти от исходного к разности квадратов). Может есть какие-то нюансы?

[worm2]

Ну есть общая теория. Но это ужасно скучно.

[dmd]

Ivan 09

Если в квадратном уравнении двух переменных наблюдается форма $X^2+aX+...=0$, то умножаем на 4

$4X^2+4aX+4\cdot(...)=0 \implies (2X+a)^2-a^2+4\cdot(...)=0$

Затем тоже самое проделываем, если получается, над переменной $Y$. Здесь $X=X(x,y)$ и $Y=Y(x,y)$ - линейные комбинации (нужно догадаться какие) исходных переменных $x,y$.

Если не ошибаюсь, то в итоге всегда будет получаться один из четырёх вариантов: сумма квадратов, разность квадратов, Пелль, квадратный Туе.