2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадрат переделаем в куб
Сообщение29.10.2019, 12:27 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Есть две простых задачки для квадрата:
1. Построить систему дорог наименьшей длины, соединяющей вершины единичного квадрата.
2. Квадрат повернули вокруг центра. Какова наименьшая площадь общей части исходного и повернутого квадратов?
Сочиняя задачи для олимпиады, я заменил в этих задачах квадрат на куб. И - чё?
(Для 1) говорилось про паука, который оптимизировал общую длину паутины, связывающей вершины куба. Для 2) - повороты - любые, не только вокруг осей)

(Оффтоп)

Одну из полученных задач я решать умею, а другую - вроде бы, нет...
Задачи можно ставить и для $n$-мерного куба. И для правильного тр-ка (тетраэдра, симплекса)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат переделаем в куб
Сообщение29.10.2019, 13:44 


14/01/11
2916
В 1-й задаче мне удалось достичь длины $1+\sqrt{3}$ для квадрата и $1+3\sqrt{3}$ для куба, но как доказать минимальность?.. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат переделаем в куб
Сообщение29.10.2019, 21:51 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Sender
Вроде, так...

Sender в сообщении #1422882 писал(а):
но как доказать минимальность?.

Ну, можно позвать на помощь физиков - с их гирьками и веревочками...
А реально, для $1^2$ (кажется, это с какой-то Московской олимпиады), спрашивалось "хватит ли 2.8 метра (соответственно, для $1^3$, я спрашивал, хватит ли 6.2 метра). Из Ваших ответов видим - хватит....
Ваша конструкция для куба - локально минимальная сеть Штейнера, да. Является ли она глобально минимальной - я не знаю; видимо - да (в статье А. О. Иванов, А. А. Тужилин, Геометрия минимальных
сетей и одномерная проблема Плато, УМН, 1992, том 47,
выпуск 2(284), 53–115, на стр.81 есть эта конструкция, сказано, что она - локально минимальна, но не сказано про глобально....)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат переделаем в куб
Сообщение30.10.2019, 16:59 


02/04/18
240
Что-то плохо получается: в кубе $1+\sqrt{3}+\sqrt{14-\sqrt{3}}$
А меньше не идет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат переделаем в куб
Сообщение30.10.2019, 17:44 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Dendr
У Sender - меньше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат переделаем в куб
Сообщение30.10.2019, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Минимальная сеть куба во всех трёх проекциях выглядит на глаз так же, как минимальная сеть квадрата (в двух проекциях - примерно так, в третьей - точно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат переделаем в куб
Сообщение31.10.2019, 12:34 


02/04/18
240
Понял свою ошибку: не надо было сводить задачу непременно к квадрату в срединном сечении. Тогда по этой схеме можно и для гиперкубов находить, дело только в выкладках?

Со второй задачей очень похоже, что без аналитической геометрии категорически не обойтись, а дальше, боюсь, будет машинный перебор. Тем более, что степеней свободы-то три.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group