Квадрат переделаем в куб

[DeBill]

Есть две простых задачки для квадрата:
1. Построить систему дорог наименьшей длины, соединяющей вершины единичного квадрата.
2. Квадрат повернули вокруг центра. Какова наименьшая площадь общей части исходного и повернутого квадратов?
Сочиняя задачи для олимпиады, я заменил в этих задачах квадрат на куб. И - чё?
(Для 1) говорилось про паука, который оптимизировал общую длину паутины, связывающей вершины куба. Для 2) - повороты - любые, не только вокруг осей)

(Оффтоп)

Одну из полученных задач я решать умею, а другую - вроде бы, нет...
Задачи можно ставить и для $n$-мерного куба. И для правильного тр-ка (тетраэдра, симплекса)

[Sender]

В 1-й задаче мне удалось достичь длины $1+\sqrt{3}$ для квадрата и $1+3\sqrt{3}$ для куба, но как доказать минимальность?..

[DeBill]

Sender
Вроде, так...

Sender в сообщении #1422882 писал(а):

но как доказать минимальность?.

Ну, можно позвать на помощь физиков - с их гирьками и веревочками...
А реально, для $1^2$ (кажется, это с какой-то Московской олимпиады), спрашивалось "хватит ли 2.8 метра (соответственно, для $1^3$, я спрашивал, хватит ли 6.2 метра). Из Ваших ответов видим - хватит....
Ваша конструкция для куба - локально минимальная сеть Штейнера, да. Является ли она глобально минимальной - я не знаю; видимо - да (в статье А. О. Иванов, А. А. Тужилин, Геометрия минимальных
сетей и одномерная проблема Плато, УМН, 1992, том 47,
выпуск 2(284), 53–115, на стр.81 есть эта конструкция, сказано, что она - локально минимальна, но не сказано про глобально....)

[Dendr]

Что-то плохо получается: в кубе $1+\sqrt{3}+\sqrt{14-\sqrt{3}}$
А меньше не идет.

[DeBill]

Dendr
У Sender - меньше...

[ИСН]

Минимальная сеть куба во всех трёх проекциях выглядит на глаз так же, как минимальная сеть квадрата (в двух проекциях - примерно так, в третьей - точно).

[Dendr]

Понял свою ошибку: не надо было сводить задачу непременно к квадрату в срединном сечении. Тогда по этой схеме можно и для гиперкубов находить, дело только в выкладках?

Со второй задачей очень похоже, что без аналитической геометрии категорически не обойтись, а дальше, боюсь, будет машинный перебор. Тем более, что степеней свободы-то три.