Здравствуйте!
Пусть
равномощно подмножеству
множества
, а
равномощно подмножеству
множества
. При взаимно однозначном соответствии между
и
подмножество
переходит в некоторое подмножество
. При этом все три множества
,
и
равномощны, — и нужно доказать, что они равномощны множеству
, или, что то же самое,
.
Пусть
— функция, осуществляющая взаимно однозначное соответствие
(элемент
соответствует элементу
). Когда
переходит в
, меньшее множество
переходит в какое-то множество
. Аналогичным образом само
переходит в некоторое множество
. При этом
, так как
. Продолжая эту конструкцию, мы получаем убывающую последовательность множеств
и взаимно однозначное соответствие
, при котором
соответствует
. Формально можно описать
как множество тех элементов, которые получаются из какого-то элемента множества
после
-кратного применения функции
. Аналогичным образом
состоит из тех и только тех элементов, которые получаются из какого-то элемента множества
после
-кратного применения функции
. Заметим, что пересечение всех множеств
вполне может быть непусто: оно состоит из тех элементов, у которых можно сколько угодно раз брать
-прообраз. Теперь можно сказать так: множество
мы разбили на непересекающиеся слои
и на сердцевину
.
Часть доказательства до места, где мне становится непонятно, а именно последние 2 предложения:
1) "можно сколько угодно раз брать
-прообраз". Что во что отображается ?
2)
, не ясно как можно его получить, если
не кончаются ?