Сложение точек эллиптической кривой

[error420]

Мы рассматриваем эллиптическую кривую над некоторым полем $\mathbb{F}$. Кривая задается уравнением $Y^2 + a_1 XY +a_3 Y = X^3 + a_2 X^2 + a_4 X + a_6 $. В соответствии с определением эллиптической кривой, она гладкая, т.е. частные производные не равны нулю одновременно, но случай, когда одна из частных производных равна нулю, а другая нет, возможен. Для сложения точки на эллиптической кривой с самой собой предлагается использовать прямую $ y-y' = \lambda' (P) (x-x') $, где $ \lambda' (P) = \frac{\partial F(X,Y) / \partial X}{\partial F(X,Y) / \partial Y} |_{X=x',Y=y'} $. Знаменатель равный $ 2Y +a_1 X +a_3 $ утверждается, что не может быть нулевым. Это оказалось мне не очевидным.

Мои идеи: 1) Если $x' , y'$ удовлетворяют уравнению кривой, то они не могут удовлетворять уравнению $ 2Y +a_1 X +a_3 = 0 $. Пытался доказать подстановкой переменных, но что-то ничего путного не вышло.
2) Если $2Y +a_1 X +a_3 = 0$, то и $\partial F(X,Y) / \partial X = a_1 Y - 3X^2 - 2a_2 X - a_4$ обратится в ноль. Опять доказать не вышло.

Сейчас начал изучения кривых с учебником А.А, Болотов и компании Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Если посоветуете еще литературы был бы благодарен. Студент факультета Информ. Безопасности. Есть хорошая подготовка в области конечной алгебры, но не мат. фак.

[vpb]

error420 в сообщении #1422639 писал(а):

Пытался доказать подстановкой переменных, но что-то ничего путного не вышло.

Детально не смотрел, но, кажется, действительно там ерунда написана.

error420 в сообщении #1422639 писал(а):

Если посоветуете еще литературы был бы благодарен.

Кое-чего для общеалгебраического образования я вам уже полтора года назад советовал.
Присовокупим сюда
Уокер, Алгебраические кривые;
Рид, Алгебраическая геометрия для всех;
Garrity, Belshof и др, , Algebraic geometry: a problem solving approach (т.е. "Алгебраическая геометрия в задачах. Кажется, хорошая, годная книжка).