abc=1, доказать a+b+c>=3 если a,b,c положительные

[Ivan 09]

Здравствуйте. В книге "Польские математические олимпиады" первая задача звучит так.
Доказать, что если числа $a,b,c$ положительны и $abc=1$, то
$a+b+c \geqslant3$.
После того. как не получилось её решить напрямую, заглянул в ответ. И там решение задачи идет от противного. У меня именно из-за этого возник вопрос, можно ли не прибегаю к методу, предположив противное, решить данную задачу. Мои попытки решения.
$a+b\geqslant 3-c$
возвел в квадрат , домножил на $c$ воспользовался $a^2=\frac{1}{b^2 c^2}$ пришел к
$(b\sqrt{c}+\frac{1}{b\sqrt{c}})^2 \geqslant c(3-c)^2$
дальше извлек корень.Но по этому пути прихожу к искомому уравнению. Такой подход всегда приведет в тупик? Обратно, с чего начал? или можно как-то решить?

[Brukvalub]

Ivan 09 в сообщении #1422370 писал(а):

Но по этому пути прихожу к искомому уравнению.

Разве в условии требуется найти какое-то уравнение?
Неравенство Коши между средними делает задачу тривиальной.