И снова гомологии

[Nickspa]

$f(u,v)=\frac{a_1(u)-a_2(v)}{\left\lvert a_1(u)-a_2(v)\right\rvert}$ - отображение из тора в сферу, где $a_1(u),a_2(v)$ окружности в $\mathbb{R}^3$. Вычислить $f_*:H_2(T^2)\to H_2(S^2)$, если
a) $a_1$ - окружность в $xy$ с центром $(0,0,0),r=1$, $a_2$ - в $yz$ и $(0,3,0),r=1$;
b) $a_1$ - та же окружность, а $a_2$ - в $yz$ и $(0,1,0),r=1$.

Пробовал следующим образом: задал координаты $u=\varphi, v=\psi$, где $\varphi$ угол между радиусом первой окружности и осью $x$, а $\psi$ - между радиусом второй и осью $y$.
Тогда $a_1:(\cos\varphi,\sin\varphi,0),a_2:(0,3-\cos\psi,\sin\psi)$.
$a_1(u)-a_2(v)=(\cos\varphi,\sin\varphi+\cos\psi-3,-\sin\psi)$. И здесь, вроде, понятно, что не сюръекция (т.к. например вектор (0,1,0) никак не получится). Поэтому гомоморфизм нулевой. Верно так? И можно ли как-нибудь лучше это показать?
А в b), похоже, сюръекция будет. Но как показать? Может, как-то по-другому зайти? По-другому задать?

[vpb]

Nickspa в сообщении #1422348 писал(а):

Поэтому гомоморфизм нулевой. Верно так?

Да.

Попробуйте доказать, что соответствующее отображение в гомологиях зависит только от того, зацеплены окружности или нет, и от направления обхода окружностей, в случае зацепленных.
Чтобы посчитать отображение в явном виде, можно попробовать разбить тор на некрупные клетки и посмотреть, явно, куда они переходят и т.д.