Ни одного факториала в последовательности

[Ktina]

Доказать, что в последовательности 5, 10, 17, 19, 26, 29,... не встретится ни одного факториала.

Эта последовательность является последовательностью всех натуральных чисел, представимых в виде $n^{k}+k-1$,где $n, k$ — натуральные числа, превышающие 1.

[gris]

По правилам теорему надо вначале доказать для меньшего значения ключевого показателя. Рассмотрим случай $k=2$.
$n^2+2-1=n^2+1$.
это выражение никак не делится на три и не может быть факториалом числа, большего двух.

[daniel starodubtsev]

Ну просто из соображений делимости $k = 2 (\mod 4)$ не сходится. Тогда $k - 1$ нечётно, а значит и $n$ нечётно. В этом случае $n^k$ это квадрат нечётного числа, а значит даёт 1 по модулю 4. $n^k - 1$ делится на 4, а $k$ - нет. Не получается.