Бесконечные вложенные радикалы.

[Senior51]

Докажите тождество:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{x}}}{2}\cdot...\cdot\frac{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{x}}}}_{n radikalov}}{2}=\frac{4-x^2}{\sqrt{2\cdot\ln\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}}}$

Источник: Математическое просвещение, сер. 3, вып. 24, 2019(175–180)
Возьмём логарифм от левой части:
$\ln\frac{\sqrt{x}}{2}+\ln\frac{\sqrt{2+\sqrt{x}}}{2}+...+\ln\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{x}}}}{2}=\sum\limits_{1}^{n}\ln\frac{a_n}{2} =\sum\limits_{1}^{n}\ln{a_n}-\sum\limits_{1}^{n}\ln{2}$
$a_1=\sqrt{x},a_2=\sqrt{2+\sqrt{x}}=\sqrt{2+a_1},...,a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}$
….

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.