Вопрос про прообраз

[yovska]

Рассмотрим функцию $f: \mathbb R \to \mathbb R, \ f(x) = x^2$ где $S, T \subseteq \mathbb R$.

Здесь (да и вообще) $f(x) \in f(S)$ не значит $x \in S$. К примеру если $S = \{2, 3\}$, то $f(-2) \in f(S)$, но $-2 \not \in S.$

Oпределение прообраза дано таким образом: $x \in f^{-1}(T) \iff f(x) \in T$. С направлением $ x \in f^{-1}(T) \implies f(x) \in T$ все ясно: это по определению функций $f$. Меня интересует обратное направление. Если $f(x) \in T$, то по определению $f$ должен существовать $x \in \mathbb R$ соответствующий этому $f(x).$ Только мне все кажется, что такой $x$ может оказаться в $\mathbb R - f^{-1}(T)$. Определение прообраза твердит, что такого быть не может. Почему?


Почему в этом случае не может случится такое, что проилюстрировано примером выше? Спасибо.

[Connector]

yovska в сообщении #1422242 писал(а):

Здесь (да и вообще) $f(x) \in f(S)$ не значит $x \in S$.

Кстати, если $f^{-1}$ — функция, то как раз значит.

(Оффтоп)

Имхо, распространенное обозначение $R^{-1}$ для обратного отношения не самое удачное: если $R$ не взаимно-однозначно, $R \circ R^{-1} \ne I$, где $I$ — отношение тождества.

Почему не может случиться? Так по определению полного прообраза... Скажем, в приведенном примере $f^{-1} \left\lbrace 4, 9 \right\rbrace = \left\lbrace -3, -2, 2, 3 \right\rbrace$.

[yovska]

Connector

А, да. Понятно. Если взять $X:= f^{-1}(T) = \{x \in A: f(x) \in T\}$ за определение, то $x$ не может оказаться в $A - f^{-1}(T)$ потому что $X$ постулирует, что **все** $x$ имеющие какое-либо отношение к $f(x) \in T$, должны быть в $X$. Решено. Спасибо.

[yovska]

Пусть $f: X \to Y$ есть функция где $A \subseteq X, \ B \subseteq Y.$ Допустим мне хочется показать, что $f(x) \in f(A) \implies x \in A$ если $f$ иньективна. Может ли следущий аргумент считаться док-вом? Пусть $x_1 \in A, \ x_2 \in X - A, \ x_1 \ne x_2$. По определению, $f(x_1), f(x_2) \in f(A)$. Поскольку $f$ иньективна, то $f(x_1) \ne f(x_2).$ То есть мы разделили домен $f$ на две части и показали(?), что для каждого $f(x)$ существует праобраз в $A$.

[Otta]

yovska
Что Вам нужно доказать?

[yovska]

Otta


Существует утверждение: пусть $f: X \to Y$ будет функцией где $A \subseteq X, \ B \subseteq Y.$ Тогда $f(x) \in f(A) \implies x \in A$ если $f$ иньективна.

Док-во: пусть $f(x) \in f(A)$. Тогда по определению существует $a\in A$ такой что $f(x) = f(a)$. Но поскольку $f$ иньективна, то мы имеем $x=a$ , что и требовалось доказать.

Мне тут просто пришел в голову новый аргумент (пост выше), но я что-то сомневаюсь, что он может послужить док-вом. Мне бы хотелось узнать почему.