Сопряжённый оператор и свойства интеграла Стилтьеса

[thething]

Добрый день!

Попалась задача: найти сопряжённый оператор в $C[0,1]$ к оператору $Ax(t)=tx(t)$. Расписываю по определению $\varphi(Ax)=\int\limits_{0}^{1}tx(t)dg(t)$, где $g(t)$ -- из теоремы Рисса об общем виде функционала. Дальше хочется представить интеграл в виде $\int\limits_{0}^{1}x(t)d\left(\int\limits_{0}^{t}\tau dg(\tau)\right)$ и, собственно, получить ответ. Но смущает законность этого перехода. В теории интеграла Стилтьеса такого не встречал. Подскажите, пожалуйста, это откуда-нибудь следует, или я вообще не в ту степь?

[vpb]

thething
Нет, в степь ту самую, насколько я вижу. Переход вполне законен. Есть задачник Теляковского по ТФДП, там это задача 6.109.

С.А.Теляковский писал(а):

Пусть $f$, $g$ непрерывны на $[a,b]$, а $\varphi$ имеет ограниченную вариацию. Положим

$$\psi(x)=\int_a^x f\, d\varphi. $$

Доказать, что

$$ \int_a^b g\,d\psi=\int_a^b gf\,d\varphi\,.$$

Но там решений нет. Собственно, оно доказывается достаточно прямолинейно, прямо из определений.

-- 24.10.2019, 21:57 --

А, еще вот что.

thething в сообщении #1422241 писал(а):

найти сопряжённый оператор в $C[0,1]$ к оператору $Ax(t)=tx(t)$

Сопряженный же оператор не в $C[0,1]$ действует, а в сопряженном пространстве, сиречь $V^0[0,1]$. См. КФ, гл.6, пар.6. Это так, для порядку.

[thething]

vpb
Ну конечно, спасибо! Мне формулировок всегда не хватает, а доказательство тут и впрямь в лоб проходит.

vpb в сообщении #1422284 писал(а):

Сопряженный же оператор не в $C[0,1]$ действует, а в сопряженном пространстве, сиречь $V^0[0,1]$. См. КФ, гл.6, пар.6. Это так, для порядку.

Да, это я так криво выразился, что "оператор $A$ действует в пространстве $C[0,1]$".