Выпуклые функции

[dima_1985]

mihaild в сообщении #1417671 писал(а):

Оно же легко может быть пустым - инфинум не обязан достигаться.

Да, тогда $X_{\ast}=\emptyset$. Я ошибся. Мне хочеться с выпуклыми и сильно выпуклыми функциями разобраться. Я нашёл два критерия
1) $\langle J'(u)\xi, \xi \rangle \geqslant 0 \forall \xi,u $ выпукла
2) $\langle J''(u)\xi, \xi \rangle \geqslant \kappa \mid \xi \mid^2 \forall \xi,u $ где $\kappa>0 $ сильно выпукла . Я придумал пример $J(u)=3x^4+\exp(3y)$. Нашел вторйю производную $J''(u)= \begin{bmatrix} 36x^2& 0 \\ 0& 9\exp(3y) \end{bmatrix}$. На выпуклость проверка довольно проста, находим все главные миноры и если они больше или равны нулю наша функция выпукла у нас 3 главных минора $36x^2 \geqslant 0,9\exp(3y) \geqslant 0 ,\det \begin{bmatrix} 36x^2& 0 \\ 0& 9\exp(3y) \end{bmatrix} \geqslant 0 $. Функция выпукла. Для сильной выпуклости положим $x=0,y$ устремим к минус бесконечности, $\xi=\{x_1;y_1\}$. По второму критерию выражение слева стремиться к $0$, а выражение справо $\kappa(x_1^2+y_1^2)$. Нет сильной выпуклости. Мои рассуждения правильные ? Можно упростить проверку на сильную выпуклость? Может есть способ, который накладывет определённые условия на вторые производные и по матрице вторых производных можно ответить на вопрос сильно выпукла( не сильно выпукла) ? Да, матрица вторых производных непостоянна. Спасибо!!!

[vpb]

dima_1985 в сообщении #1421998 писал(а):

Нет сильной выпуклости. Мои рассуждения правильные ?

Да.

Проверку на выпуклость в общем случае не упрстишь. Однако есть такой прием, насколько я знаю часто используемый. Во-первых, полезно заметить, что линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами выпуклых функций выпукла. Во вторых, если функция зависит не от всех переменных, а только от части (скажем, функция двух переменных, а на самом деле зависит только от одного), и от этих реальных переменных она выпукла, то она выпукла (вообще говоря, не сильно) и от всех вместе. Наконец, если есть выпуклая функция, и к ней применяется линейная замена переменных, то получившаяся функция тоже выпукла.

В вашем случае, функция получается такими тремя приемами из квадрата и экспоненты (от одного переменного), а они выпуклы. Поэтому и вся функция тоже выпукла. Что же до сильной выпуклости, то можно указанные приемы модифицировать и на этот случай, но это малость посложнее.