Логика в природе

[Утундрий]

Кстати, а как называется логика, где вводится "функция истинности", принимающая значения из отрезка $[0,1]$?

[Icarus]

arseniiv
Спасибо!

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1421888 писал(а):

Кстати, а как называется логика, где вводится "функция истинности", принимающая значения из отрезка $[0,1]$?

Несносная.

Вообще тут как минимум два естественных варианта есть — понимать $\wedge, \vee$ как $\min, \max$ и как $xy, x + y - xy$, и оба страшненькие. Какой из них (или какой-то ещё) имеется в виду? (Впрочем, я специально старался про такое не читать ничего, так что если названия есть, не скажу.)

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1421903 писал(а):

понимать $\wedge, \vee$ как $\min, \max$

Да, что-то вроде этого, первого приходящего в голову. Вроде бы этот путь ведёт за в решётку?

[arseniiv]

В решётку ведёт, да, ведь она всегда связана с частичным порядком, имеющим точные грани для каждой пары, которые мы и берём операциями решётки.

-- Пн окт 21, 2019 23:45:22 --

Проверил кое-что: кажется, второй вариант всё-таки образует аж алгебру Гейтинга, если определить $x\to y := \min(1, x^{-1}y)$ (включая $0\to y := 1$), то есть для логических целей ничего так. Отрицание там тогда будет $\neg x := x\to0 = (x = 0)\mathbin? 1 : 0$, и двойное отрицание $\neg\neg x := (x = 0)\mathbin? 0 : 1$. Вменяемо.

[UPD: вторая система — даже не решётка, идемпотентности нет, потому и не алгебра Гейтинга тем более.]

Плюс про первый вариант (и вообще любой полный порядок) пишут, что он тоже будет алгеброй Гейтинга при $x\to y := (x\leqslant y)\mathbin? 1 : y$.

По сравнению с чистой интуиционистской логикой, две логики с такими значениями скорее всего чуть сильнее, притом они точно слабее классической (такие логики зовут промежуточными).

-- Пн окт 21, 2019 23:52:05 --

Да, разумеется они оба сильнее, потому что в обоих мы имеем весьма странное $(x\to y)\vee(y\to x) = 1$.

[arseniiv]

Упс, я что-то запутался в системе 2: попробуем восстановить порядок решётки, который я буду обозначать $\preccurlyeq$, по операциям ($x = x\wedge y \Leftrightarrow x\preccurlyeq y \Leftrightarrow x\vee y = y$), и получим $x\preccurlyeq y \Leftrightarrow x = 0\mathrel{\mathrm{or}} y = 1$. Отсюда не восстановишь супремум и инфимум пар однозначно! Как это вышло? Видимо, это вовсе не решётка, а я слишком поленился проверить как следует? Сейчас увидим…

-- Вт окт 22, 2019 00:25:23 --

Ха, ну это совсем ляп замечательный: идемпотентность уже не работает: $a^2 \ne a\ne 2a - a^2$, это должно же было бы броситься в глаза сразу же.

[epros]

arseniiv в сообщении #1421903 писал(а):

Утундрий в сообщении #1421888 писал(а):

Кстати, а как называется логика, где вводится "функция истинности", принимающая значения из отрезка $[0,1]$?

Несносная.

Вообще тут как минимум два естественных варианта есть — понимать $\wedge, \vee$ как $\min, \max$ и как $xy, x + y - xy$, и оба страшненькие. Какой из них (или какой-то ещё) имеется в виду? (Впрочем, я специально старался про такое не читать ничего, так что если названия есть, не скажу.)

Это всё варианты нечёткой логики. $\min$ и $\max$ предложил как раз Л.Заде. Вариант с $xy$ и $x+y -xy$ обычно называют вероятностной логикой. В обоих вариантах закон непротиворечия - не тавтология.

[arseniiv]

Ненене, если в минимаксном определить импликацию как я указал, это будет алгебра Гейтинга, а там $x\wedge(x\to0) = 0$, потому что $x\to0 = (x\leqslant0) \mathbin? 1 : 0$, и в первом случае $x = 0$, так что $x\wedge1 = 0$, ну и во втором случае $x\wedge0 = 0$.

-- Вт окт 22, 2019 15:47:26 --

А если там попробовать определить вместо этого «дополнение» в виде $1 - x$, то конечно будет ерунда. Ну так и не будем. Как импликативная же решётка она во.

-- Вт окт 22, 2019 15:52:06 --

А вообще зачем я там выше выводил?.. В любой импликативной решётке работает MP, $a\wedge(a\to b)\leqslant b$.

[epros]

arseniiv в сообщении #1421964 писал(а):

$x\to0 = (x\leqslant0) \mathbin? 1 : 0$,

...

А если там попробовать определить вместо этого «дополнение» в виде $1 - x$, то конечно будет ерунда.

Увы, и у Л.Заде, и в вероятностной логике отрицание определялось именно как $1-x$. Возможно Ваш вариант и правильнее, но по-моему его дальнейшим логическим развитием является полный отказ от всяческих "нечёткостей" и возврат к обычной конструктивной логике.

[Утундрий]

Я тут немного подумал (Заде не читал) над обоими вариантами.

Второй (полиномиальный) можно интерпретировать как вероятностный в следующем смысле. Все высказывания берём в форме $x=, тогда $x \wedge y =, а $x \vee y = . При этом нам известна вероятность каждого события $\mu (x) = P\{ и не остаётся другого выбора, кроме как положить $\mu (\overline{x}) = 1 - \mu (x)$.

В первом варианте (с максимумами) вероятностной интерпретации нет, зато сохраняется больше свойств классической логики. Например $\mu (x \wedge x) = \mu (x \vee x) = \mu (x)$.

[arseniiv]

epros в сообщении #1421976 писал(а):

Возможно Ваш вариант и правильнее, но по-моему его дальнейшим логическим развитием является полный отказ от всяческих "нечёткостей" и возврат к обычной конструктивной логике.

Да, я не воспринимаю этот вариант как нечёткий — именно потому что он вполне себе хороший и вместо $[0; 1]$ можно брать любой линейный ограниченный порядок.

Утундрий
Проблема вероятностной интерпретации тут в том, что начисто отрезан способ говорить о зависимости и независимости. Потому мы получаем странные проблемы там, где у теорвера их не будет (законы исключенного третьего и непротиворечия в «множественной форме» $A\cup\overline A = \Omega$, $A\cap\overline A = \varnothing$ там прекрасно работают, покуда логика в основе теории множеств классическая, ну и идемпотентность будет: $A\cup A = A\cap A = A$; на всё это навесим по надобности вероятности и получим тоже равенства). Я не знаю, куда ушла нечёткая математика сейчас, но невозможность представить зависимость — это в любом случае проблема, которую они должны как-то решать, и я не вижу чтобы для этого был приемлемый способ. И я надеюсь что люди, использующие нечёткий вывод для своих практических задач, поскорее перейдут с него на более осмысленные статистические методы.

(Аналогичная проблема кстати с интервальной арифметикой, когда мы хотим, чтобы возведение в чётную степень давало неотрицательный интервал вместо того, который получится, если его получить по правилу для умножения. Приходится или мириться со слишком широким интервалом, или ad hoc определять возведение интервала в чётную степень специальным образом. Если бы там была естественная возможность учесть зависимости переменных (как например в том же теорвере для случайных величин), этой проблемы не было бы.)

[Утундрий]

Касательно первого варианта:

$$\begin{array}{*{20}c} {\mu (\overline{x}) &:=& 1 - \mu (x)} \\ {\mu (x \wedge y) &:=& \min \left\{ {\mu (x),\mu (y)} \right\}} \\ {\mu (x \vee y) &:=& \max \left\{ {\mu (x),\mu (y)} \right\}} \\ \end{array} $$

Имеется возможность ввести для каждого высказывания любопытную характеристику

$$\delta (x): = 2\max \left\{ {\mu (x),1 - \mu (x)} \right\} - 1$$

Назовём $\delta (x)$ определённостью высказывания $x$. Определённость меняется в пределах $0 \leqslant \delta \leqslant 1$ и $\delta=1$ соответствует полностью определённому высказыванию.

Эту штуку можно прочувствовать, глядя на равенства

$$\mu (x \wedge \overline{x}) = \frac{{1 - \delta (x)}}{2}, \qquad \mu (x \vee \overline{x}) = \frac{{1 + \delta (x)}}{2}.$$

Если ограничиться только полностью определёнными высказываниями, то получим обычную логику. Однако, не обязательно действовать столь экстремально, здесь есть ещё пространство для манёвра. Рассмотрим, например, аксиоматику Роббинса. Первые две аксиомы выполняются тривиально, а третья

$$\overline{x} = \overline{(x \vee y)} \vee \overline{(x \vee \overline{y})}$$

остаётся справедливой, если высказывание $y$ не менее определённое, чем высказывание $x$.

Последнее условие позволяет в части случаев пользоваться обычными правилами, одновременно указывая границы их применимости.

[warlock66613]

Поскольку практически в любой альтернативной логике можно смоделировать классическую, любая такая логика может быть использована в качестве основы для естественнонаучной теории, и выбор лишь вопрос удобства.

[epros]

arseniiv в сообщении #1422011 писал(а):

Утундрий
Проблема вероятностной интерпретации тут в том, что начисто отрезан способ говорить о зависимости и независимости.

Да, вероятностная логика - не теория вероятностей. Вероятностная интерпретация высказываний там как бы есть, но только в предположении их независимости.

arseniiv в сообщении #1422011 писал(а):

Я не знаю, куда ушла нечёткая математика сейчас

Стиральные машинки обслуживают. Стандартное обоснование закрытия глаз на проблемы заключается в том, что предметная область, мол, всё равно нечёткая, так что если что-то будет слегка не так, никто и не заметит.

[Andrey Lukyanov]

Вот вам пример задачки из бытовой механики, которую невозможно решить теоретически, без обращения к практике.

Все знают, что у велосипеда есть педали. Ось педали вкручивается в отверстие шатуна. Причём у одной педали резьба на оси правая, а у другой левая. Это сделано для того, чтобы педали при езде не откручивались самопроизвольно (а наоборот, закручивались). Вопрос: на какой педали правая резьба, а на какой левая?

Из простых геометрических соображений следует, что на оси правой педали должна быть левая резьба, а на оси левой — правая. Но на реальных велосипедах всё сделано наоборот — справа правая резьба, слева левая.

В интернете можно найти объяснение этому. Но ведь ясно же, что сначала велосипедисты на практике поняли, при каком варианте педали не откручиваются сами, а уже потом были придуманы теоретические объяснения.