Предел последовательности характеристических функций

[RikkiTan1]

Доброго времени суток!
Пусть $a_1(\omega), a_2(\omega), ...$ - последовательность н.о.р.с.в. таких, что $P(a_k=1)=P(a_k=0)=1/2$, $k = 1,2,...$
Показать, что $\xi(\omega)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k(\omega)2^{-k}$ имеет равномерное распределение. Я выбрал эту задачу, чтобы набить руку в характеристических функциях.
Пусть $\varphi_k(t)=E[e^{ita_k 2^{-k}}]$. Тогда $\varphi_k(t)=\frac{1}{2}(1+e^{it 2^{-k}})$
Пусть $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k(\omega)2^{-k}$, тогда $E[e^{it S_n}]=\frac{1}{2^n}(1+e^{it 2^{-1}})(1+e^{it 2^{-2}})...(1+e^{it 2^{-n}})$
Из общей теории мы должны получить, что $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}(1+e^{it 2^{-1}})(1+e^{it 2^{-2}})...(1+e^{it 2^{-n}})=\frac{e^{it}-1}{it}$. Как можно посчитать последний предел.
У меня получилось найти предел $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}|1+e^{it 2^{-1}}||1+e^{it 2^{-2}}|...|1+e^{it 2^{-n}}|=\frac{|\sin(\frac{t}{2})|}{|t/2|}$. Т.е. модули $S_n$ стремятся куда нужно, а вот аргументы $S_n$ я вычислить не смог.

[Евгений Машеров]

Попробуйте выражение под знаком предела умножить и поделить на $1-e^{it2^{-n}}$
А затем костяшки домино начнут падать...

[RikkiTan1]

Евгений Машеров, спасибо, все оказалось очень просто.

[Евгений Машеров]

"Метод восемнадцатого верблюда Ходжи Насреддина"

[--mS--]

(Оффтоп)

А по мне так функция распределения ищется куда проще: для $0<x<1$ пусть $x_k\in\{0,\,1\}$ - координаты $x$ в двоичном разложении. Тогда

$$\mathsf P(\xi<x)=\mathsf P\left(\sum_1^\infty \frac{a_k}{2^k}<\sum_1^\infty \frac{x_k}{2^k}\right)=$$

$$=\mathsf P(a_1<x_1)+\mathsf P(a_1=x_1,\,a_2<x_2)+\mathsf P(a_1=x_1,\,a_2=x_2,a_3<x_3)+\ldots = \frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2^2}+\frac{x_3}{2^3}+\ldots = x.$$

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Ну да, смысл использовать характеристические функции только в том, чтобы использовать характеристические функции. "Искусство для искусства".
Впрочем, топикстартер указывает, что его единственная цель - "набить руку".