Умножение ряда Фурье на последовательность

[lovgager]

Добрый день. Пусть имеется ряд Фурье по синусам, сходящийся на отрезке $[0, \pi]$

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_n \sin {nx} = \varphi(x)$$

Известно, что эта функция неотрицательна всюду на отрезке. Вопрос: можно ли что-то сказать про ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}C_n e^{-n^{2}} \sin{nx}$$

Будет ли он сходиться также к неотрицательной функции на $[0, \pi]$ или не обязательно?

[DeBill]

lovgager в сообщении #1421435 писал(а):

Будет ли он сходиться также к неотрицательной функции на $[0, \pi]$

ДА! Это - замечательная задача, которую мой коллега (спец по уравнению теплопроводности) сочинил для одной из студенческих олимпиад оочень в запамятные года. Подсказка: есть такой "Принцип максимума для как раз него"

[jekyl]

Интересная задача. Если бы ряд был по косинусам, то сразу очевидно.

[g______d]

Достаточно доказать, что ряд

$$ f(x):=\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-n^{2}} \sin{nx} $$

сходится к функции, положительной на $(0,\pi)$. Тогда случай с произвольными коэффициентами получается с помощью свёртки. Свёртка двух положительных функций положительна.

Функция $f$ является решением задачи Дирихле для уравнения теплопроводности на $(0,\pi)$ с начальным условием $\delta(x)$, взятое в момент времени 1.

Из физических соображений понятно, что оно положительно :) (это пока не решение, конечно)