Целые значения рациональной функции

[nnosipov]

а) Найдите бесконечно много пар $(a,b)$ натуральных чисел, для которых число

$$ \frac{b^2}{a^3-2ab^2-1} $$

также является натуральным. б) Найдите все такие пары.

[worm2]

a) Если $(a, b)$ — решение уравнения Пелля $a^2-2b^2=1$, то дробь равна $(a+1)/2\in\mathbb{N}$.

[nnosipov]

OK, так и есть.

[12d3]

Обозначим $a^2-2b^2=c$, тогда $\dfrac{a^2-c}{2\left(ac-1\right)}$ натуральное, и $\dfrac{a^2-c}{ac-1} = d$ - тоже натуральное. $\dfrac{a^2-c}{ac-1}$ монотонно убывает с ростом $c$, следовательно $d \le \dfrac{a^2-1}{a-1} = a+1$, и $c<a$, потому что при $c=a$ будет $\dfrac{a^2-c}{ac-1}=\dfrac{a^2-a}{a^2-1} < 1$. Кроме того, $a^2-c = d\left(ac-1\right) \Rightarrow a|c-d$.
Получаем два варианта: либо $c=1$ и $d=a+1$, либо $d=c$ и тогда $a=c^2$. Первый вариант разобран выше, а во втором получаем следующее: $c^4-2b^2=c \Rightarrow 2b^2=\left(c-1\right)c\left(c^2+c+1\right)$. При $c>4$ все три сомножителя в правой части взаимнопростые, значит, два из них являются квадратами, а один - удвоенный квадрат. Первые два сомножителя не могут быть одновременно квадратами, и последний тоже не может быть квадратом, так что решений нет. Если $c<4$, то перебираем ручками, тоже не получаем решений.

[nnosipov]

12d3 в сообщении #1421447 писал(а):

При $c>4$ все три сомножителя в правой части взаимнопростые, значит, два из них являются квадратами, а один - удвоенный квадрат.

Можно этот момент более подробно? Меня смущает, что первый и третий сомножители не взаимно просты (могут оба делиться на $3$). И почему важно ограничение $c>4$?

До этого места на первый взгляд все хорошо.

[12d3]

nnosipov в сообщении #1421452 писал(а):

Можно этот момент более подробно? Меня смущает, что первый и третий сомножители не взаимно просты (могут оба делиться на $3$). И почему важно ограничение $c>4$?

Это я с какой-то радости решил, что общий сомножитель 3 может быть только при $c-1=3$. В общем, уравнение $c^4-c=2b^2$ пока не поддается.

[nnosipov]

12d3 в сообщении #1421466 писал(а):

В общем, уравнение $c^4-c=2b^2$ пока не поддается.

Оно решается, но надо привлекать арифметику колец $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ и $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ (они оба, к счастью, факториальны).

В целом, получилось альтернативное моему решение (в чем-то проще, в чем-то сложнее). У меня буквой $c$ обозначена сама исходная дробь.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1421612 писал(а):

12d3 в сообщении #1421466
писал(а):
В общем, уравнение $c^4-c=2b^2$ пока не поддается. Оно решается, но надо привлекать арифметику колец $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ и $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ (они оба, к счастью, факториальны).

Уравнение $c^4-c=2b^2$ можно решить и из других соображений. Запишем уравнение так:
$2c(c^3-1)=(2b)^2$ и пусть у него имеются целые решения. Кроме нулевого решения возможны два случая.
1. $c\ne{0}$ - четное, тогда $gcd(2c,c^3-1)=1$ и $2c, c^3-1$ - квадраты.
Но $c^3-1$ не может в данном случае быть квадратом, поскольку при делении на 4 дает в остатке $-1$. Противоречие.
2.$c$ - нечетное, тогда $gcd(c,2c^3-2)=1$ и $c, 2c^3-2$ - квадраты.
Дальнейшее само по себе верно, но отношения к исходному уравнению не имеет.
Уравнение $2c^3-2c=d^2$ заменой $c=u/2, d=w/2$ приводится к виду
$w^2=u^3-2^2{u}$, и, поскольку $2$ число не конгруэнтное, то рациональных решений у него только $u=0,\pm{2}$ и, соответственно, $c=\pm{1}$.
Убедиться, что $2$ не конгруэнтное число легко, например, с помощью критерия Таннелла, как это делают Цфасман с Остриком.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1421761 писал(а):

уравнение $2c^3-2c=d^2$

Нет ли здесь опечатки? Вроде бы число $2c^3-2$ должно быть квадратом, т.е. $2c^3-2=d^2$.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1421763 писал(а):

Нет ли здесь опечатки? Вроде бы число $2c^3-2$ должно быть квадратом, т.е. $2c^3-2=d^2$.

Конечно. Исправил.

Исправить-то исправил, а нужное уравнение $2c^3-2=d^2$ приводится к виду $w^2=u^3-8$.
Так что вопрос не снимается.

[scwec]

К счастью, эллиптическая кривая $w^2=u^3-8$ имеет нулевой ранг (на ней нет рациональных точек бесконечного порядка), а точки кручения на ней, это $(2,0)$ и $\infty$
Соответствующее решение уравнения $2c^3-2=d^2$ это $c=1,d=0$.
Так что вопрос снят.

Интересно вот что. Если не рассматривать два случая $c$ чет и $c$ нечет, и, не раскладывая на сомножители, сразу привести уравнение $c^4-c=2b^2$ к Вейерштрассову виду, то получится уравнение $w^2=u^3+8$. Оно имеет ранг 1 и ничуть не лучше исходного в смысле нахождения целых решений.