Фундаментальная группа

[Nickspa]

Необходимо дать пример линейно связного пространства с нулевой группой первых гомологий и ненулевой фундаментальной группой.
Ну, во-первых, мне нужна группа, являющаяся своим коммутантом. Я помню, что $A_n$ (группа чётных подстановок) совпадает с коммутантом при $n\geqslant 5$. Но у минимальной $A_5$ 60 элементов.
Есть ли пример поменьше?
Далее, мне надо найти пространство с такой фундаментальной группой. Как это сделать?
Знаю, что фундаментальная группа действует на универсальном накрытии изоморфизмами. Как это использовать, не знаю.

[Narn]

Как из клеточной структуры пространства (с одной вершиной) мгновенно получить фундаментальную группу (ребра - образующие, 2-клетки - соотношения), знаете?

[vpb]

Nickspa
А Вы опишите, кратко (можно, скажем, указать номера параграфов, пунктов, теорем и прочих разделов из Хатчера и др. книжек), что именно проходили. А то получается, что вам помогают "на деревню дедушке, Константину Макаровичу".

[Nickspa]

vpb в сообщении #1421416 писал(а):

А Вы опишите, кратко

По гомологиям:
Сингулярные гомологии, цепные отображения, гомотопическая инвариантность, последовательность Майера-Виеториса, относительные гомологии. Начали клеточные гомологии.

Ранее.
Вводные понятия (общая топология): топологическое пр-во, гомеоморфизмы, компакты и т.д.
Фундаментальная группа, накрытия, универсальные накрытия, теорема о накрывающей гомотопии, клеточные пространства, теорема о клеточной аппроксимации.
Как-то так

-- 18.10.2019, 23:33 --

Narn в сообщении #1421394 писал(а):

Как из клеточной структуры пространства

Не знаю, но могу предположить, что беру $\mathbb{Z}^p,p-$ количество рёбер, и факторизую по соотношениям, которые беру из того, как двумерные клетки приклеиваются к 1-остову. Что-то типа такого?

[vpb]

В Хатчере есть теорема, что каждая группа --- фундаментальная группа некоторого двумерного комплекса, и дана явная конструкция. Там же (но в другой главе) написано, как фундаментальная группа связана с первыми гомологиями. Так в чем проблема ?

А что $A_5$ --- минимальная группа, совпадающая со своим коммутантом, тоже несложно доказать, это чисто алгебраический факт. С помощью теорем Силова и т.д., а также используя действие группы на множестве смежных классов или подгрупп, сопряженных с данной. Попробуйте.

[Nickspa]

vpb в сообщении #1421532 писал(а):

В Хатчере есть теорема

Спасибо, действительно всё написано.
Но остался вопрос. Мне теперь нужно представить $A_5$ в виде образующих и соотношений. Как это сделать?

[vpb]

Книжки почитать. Скажем Каргаполов, Мерзляков, Основы теории групп. Или Кокстер, Мозер, Образующие и соотношения для дискретных групп. Или Rotman, An introduction to the theory of groups. В каждой из этих трех задание для $A_5$, думаю, выписано.