2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кватернионы на базе векторов
Сообщение17.10.2019, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9864
Сейчас у каждого есть под рукой векторы ${\mathbf{a,b,c}}$ и числа (скаляры) $\alpha ,\beta ,\gamma$. Векторы мы умеем складывать ${\mathbf{a + b,b + c,c + a}}$ и умножать на числа $\alpha {\mathbf{b}},\beta {\mathbf{c}},\gamma {\mathbf{a}}$, а числа - складывать $\alpha  + \beta ,\beta  + \gamma ,\gamma  + \alpha$ и умножать не только на векторы, но и на самих себя $\alpha \beta ,\beta \gamma ,\gamma \alpha $. И этого вполне достаточно, но...

Нет-нет, да и потянет иногда снова вверх - к гамильтоновым высотам! (Столь беспощадно некогда разрушенным Гиббсом и Хевисайдом, мир с ними обоими).

Evadere ad auras
Hoc opus, hic labor est.

§ 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАТЕРНИОНА
Где совмещают несовместимое

Считаем трёхмерную векторную алгебру выученной.

Составим "противозаконную" сумму скаляра и вектора по имени кватернио́н$$A: = \alpha  + {\mathbf{a}}$$Определим умножение кватернионов правилом
$$\left( {\alpha  + {\mathbf{a}}} \right) \circ \left( {\beta  + {\mathbf{b}}} \right): = \alpha  \circ \beta  + \alpha  \circ {\mathbf{b}} + {\mathbf{a}} \circ \beta  + {\mathbf{a}} \circ {\mathbf{b}}$$где в свою очередь полагается
$$\begin{gathered}
  \alpha  \circ \beta : = \alpha \beta  \hfill \\
  \alpha  \circ {\mathbf{b}} = {\mathbf{b}} \circ \alpha : = \alpha {\mathbf{b}} \hfill \\
  {\mathbf{a}} \circ {\mathbf{b}}: = {\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}} - {\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}} \hfill \\ 
\end{gathered}$$
Присутствие в последнем правиле векторного умножения приводит к некоммутативности умножения кватернионов.

Так ${\mathbf{a}} \circ {\mathbf{b}} \ne {\mathbf{b}} \circ {\mathbf{a}}$, за исключением случая коллинеарных $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

§ 1. СОПРЯЖЕНИЕ И АССОЦИАТИВНОСТЬ
Где сопрягают и раскрывают скобки

Введём сопряжение кватерниона
$$\overline{A}=\overline{\alpha  + {\mathbf{a}}}:=\alpha  - {\mathbf{a}}$$При помощи сопряжения можно выделить из кватерниона $A = \alpha  + {\mathbf{a}}$ его скалярную и векторную части$$\begin{gathered}
  \operatorname{scal} \left( A \right): = \frac{{A + \overline{A}}}{2} = \alpha  \hfill \\  {\mathbf{vec}}\left( A \right): = \frac{{A - \overline{A}}}{2} = {\mathbf{a}} \hfill \\ \end{gathered} $$Очевидно, что
$$\overline{\overline{A}}=A$$Менее очевидно, но легко проверяется
$$ \overline{A \circ B} = \overline{B} \circ \overline{A}$$Пользуясь известным из векторной алгебры соотношением
$${\mathbf{a}} \times \left( {{\mathbf{b}} \times {\mathbf{c}}} \right) = \left( {{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{c}}} \right){\mathbf{b}} - \left( {{\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}}} \right){\mathbf{c}}$$и симметриями смешанного произведения
$$\left( {{\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}} \right): = {\mathbf{a}} \cdot \left( {{\mathbf{b}} \times {\mathbf{c}}} \right)$$прямой подстановкой убеждаемся в ассоциативности перемножения трёх кватернионов
$$\left( {A \circ B} \right) \circ C = A \circ \left( {B \circ C} \right)$$При этом, будучи верна для трёх, ассоциативность автоматически оказывается справедливой и для произвольного числа сомножителей.

Теперь нетрудно получить правило
$$ \overline{A \circ B \circ ... \circ Z} = \overline{Z} \circ ... \circ \overline{B} \circ \overline{A}$$
§ 2. МОДУЛЬ И ОБРАЩЕНИЕ
Где измеряют и обращают

Определим модуль (норму, длину) кватерниона$$\left| {\alpha  + {\mathbf{a}}} \right|: = \sqrt {\alpha ^2  + {\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{a}}} $$Кватернион с ненулевым модулем называется ненулевым кватернионом.

Квадрат модуля можно вычислить ещё и так$$\left| A \right|^2  = \overline{A} \circ A = A \circ \overline{A}$$Откуда последовательно получаем$$\left| {A \circ B} \right|^2  = A \circ B \circ \overline{A \circ B} = A \circ B \circ \overline{B} \circ \overline{A} = \left| B \right|^2 A \circ \overline{A} = \left| A \right|^2 \left| B \right|^2 $$Как видно, произведение двух (а потому и любого числа) ненулевых кватернионов есть снова ненулевой кватернион.

Любой ненулевой кватернион имеет обратный$$A^{ - 1} : = \left| A \right|^{ - 2} \overline{A}$$Так для кватерниона, обратного к произведению ненулевых кватернионов, получаем выражение$$\left( {A \circ B \circ ... \circ Z} \right)^{ - 1}  = Z^{ - 1}  \circ ... \circ B^{ - 1}  \circ A^{ - 1} $$
§ 3. ВЕРСОР И ВРАЩЕНИЕ
Где нормируют и вращают

Рассмотрим единичный кватернион $Q$, т.е. такой, что $Q \circ \overline{Q} = 1$. Назовём его ве́рсор и закрепим за ним специальное обозначение $$Q = p + {\mathbf{q}}$$Условие нормировки на единицу примет вид$$p^2  + {\mathbf{q}} \cdot {\mathbf{q}} = 1$$Далее, всякий встреченный символ $Q$, $p$ или $\mathbf{q}$ (снабжённый, может быть, индексом), считается относящимся к некоторому версору.

Рассмотрим произведение $Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}$. Поскольку $\overline{Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}} = \overline{\overline{Q}} \circ \left( { - {\mathbf{a}}} \right) \circ \overline{Q} =  - Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}$, имеем $\operatorname{scal} \left( {Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}} \right) = 0$.

То есть, $Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}$ - чистый вектор и мы построили линейное преобразование векторного пространства.

Рассмотрим образы двух произвольных векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$$$\begin{gathered}  {\mathbf{a'}} = Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q} \hfill \\  {\mathbf{b'}} = Q \circ {\mathbf{b}} \circ \overline{Q} \hfill \\ \end{gathered} $$и составим их кватернионное произведение$${\mathbf{a'}} \circ {\mathbf{b'}} = Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q} \circ Q \circ {\mathbf{b}} \circ \overline{Q} = Q \circ {\mathbf{a}} \circ {\mathbf{b}} \circ \overline{Q}$$Отсюда, выделяя скалярную и векторную части, получаем$$\begin{gathered}  {\mathbf{a'}} \cdot {\mathbf{b'}} = {\mathbf{a}} \cdot {\mathbf{b}} \hfill \\  {\mathbf{a'}} \times {\mathbf{b'}} = Q \circ \left( {{\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}}} \right) \circ \overline{Q} \hfill \\ \end{gathered}$$Первое равенство означает, что рассматриваемое преобразование сохраняет длины векторов и углы между ними, а следовательно - является движением.

Из второго, добавив к рассмотрению еще один произвольный вектор $\mathbf{c}$, получим сначала$$\[
{\mathbf{c'}} \circ \left( {{\mathbf{a'}} \times {\mathbf{b'}}} \right) = Q \circ {\mathbf{c}} \circ \overline{Q} \circ Q \circ \left( {{\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}}} \right) \circ \overline{Q} = Q \circ {\mathbf{c}} \circ \left( {{\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}}} \right) \circ \overline{Q}$$а затем, выделением скалярной части, окончательное$$\left( {{\mathbf{c',a',b'}}} \right) = \left( {{\mathbf{c,a,b}}} \right)$$Таким образом, рассматриваемое движение векторного пространства сохраняет ориентацию. Кроме того, оно имеет неподвижную точку (нуль).

Следовательно, $\mathbf{a'} = Q \circ \mathbf{a} \circ \overline{Q}$ - вращение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение17.10.2019, 22:38 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1210
Утундрий
Вы, я так понимаю, хотите прописать методический подход к введению кватернионов не от трёх "мнимых единиц", грубо говоря. В таком случае скажите, Вам известен подход к описанию вращений кватернионами, который был бы достаточно наглядным? То, что Вы написали - вещь принципиально известная, но, глядя на кватернион, не всегда легко сразу представить себе определяемое им вращение.

Чтобы было понятно, что имеется в виду, приведу пример. Пусть есть твёрдое тело. Связываю с ним систему координат и задаю кватернионом 1 её поворот относительно некоторой фиксированной системы координат. Тем самым определяю ориентацию тела в пространстве. А теперь пусть есть кватернион 2, который даст новое положение тела относительно той же фиксированной системы координат. Есть, конечно, стандартный способ определить, как повернулось тело - и ось вращения найти и угол поворота. Но есть ли достаточно простой метод по кватернионам 1 и 2 хотя бы примерно сказать, где ось вращения и какой угол поворота? На взгляд определить, так сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение17.10.2019, 22:43 


10/03/16
1609
Aeroport

(Оффтоп)

Eule_A в сообщении #1421329 писал(а):
вещь принципиально известная


Что означает вот это выражение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение17.10.2019, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9864
Eule_A в сообщении #1421329 писал(а):
Пусть есть твёрдое тело. Связываю с ним систему координат и задаю кватернионом 1 её поворот относительно некоторой фиксированной системы координат. Тем самым определяю ориентацию тела в пространстве. А теперь пусть есть кватернион 2, который даст новое положение тела относительно той же фиксированной системы координат. Есть, конечно, стандартный способ определить, как повернулось тело - и ось вращения найти и угол поворота. Но есть ли достаточно простой метод по кватернионам 1 и 2 хотя бы примерно сказать, где ось вращения и какой угол поворота?
То есть, насколько я понял, имея $\mathbf{a'} = Q_1 \circ \mathbf{a} \circ \overline{Q}_1$ и $\mathbf{a''} = Q_2 \circ \mathbf{a} \circ \overline{Q}_2$ требуется получить поворот от $a'$ к $a''$ ? Ну, очевидно, $\mathbf{a''} = Q_3 \circ \mathbf{a} \circ \overline{Q}_3$, где $Q_3=Q_2 \circ \overline{Q}_1$. Что касается наглядности, у версора ось конечного поворота направлена по его векторной части да и угол поворота, в общем, высчитывается. Хотя, как по мне, имея кватернион поворота, можно просто насчитать сколько угодно самых разных "наглядных" величин. Тех же углов Эйлера, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение17.10.2019, 23:19 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1210
Утундрий в сообщении #1421335 писал(а):
Что касается наглядности, у версора ось конечного поворота направлена по его векторной части да и угол поворота, в общем, высчитывается.

Ну, про ось-то понятно, угол тоже большой сложности не представляет для оценки (всё-таки, уж с косинусом-то проблем нет...) Речь именно о той ситуации, которую Вы сформулировали первым предложением. Посчитать, конечно, можно. И к углам Эйлера перейти можно - это всё тоже некое вычисление, не лишённое громоздкости, но простое. Если другого ничего нет - ну, ладно, что ж делать.

Кстати, если мне память не изменяет, подобный подход к кватернионами есть у И.В. Арнольда в его "Теоретической арифметике". Уточню позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 02:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Неплохой подход, действительно полезно использовать то, что скорее всего уже известно.

Утундрий в сообщении #1421325 писал(а):
Квадрат модуля можно вычислить ещё и так$$\left| A \right|^2  = \overline{A} \circ A = A \circ \overline{A}$$
Почему бы не определять так, а текущее определение выводить?

Утундрий в сообщении #1421325 писал(а):
Любой ненулевой кватернион имеет обратный$$A^{ - 1} : = \left| A \right|^{ - 2} \overline{A}$$
Опять же почему бы не вывести это, определяя обратный элемент обычнейшим образом — такой, что $A^{-1}\circ A = A\circ A^{-1} = 1$.

Утундрий в сообщении #1421325 писал(а):
То есть, $Q \circ {\mathbf{a}} \circ \overline{Q}$ - чистый вектор и мы построили линейное преобразование векторного пространства.
Было бы неплохо описать полнее, почему тут возможно только линейное, это не всем может быть быстро ясно.

Eule_A в сообщении #1421329 писал(а):
Но есть ли достаточно простой метод по кватернионам 1 и 2 хотя бы примерно сказать, где ось вращения и какой угол поворота?
Грубо говоря, взять логарифм, потому что версор для поворота вокруг оси, задаваемой единичным вектором $\mathbf n$, на угол $\varphi$, будет $\exp(\mathbf n\varphi/2)$. У меня был где-то код для логарифма, могу выписать более явно, как его здесь получать, хотя в принципе я его некогда вывел зная вычисление экспоненты.

С комплексными числами похоже (полярная форма), но там нет деления на два, потому что из-за их коммутативности мы можем умножать лишь с одной стороны. В общем случае подобные объекты для вращения дают алгебры Клиффорда, но там векторы отдельно, а элементы группы спина (вот как раз эти) отдельно; а с $\mathbb C, \mathbb H$ нам весьма повезло, что они удобно могут совмещать обе роли и не приводить к страшным формулам.

-- Пт окт 18, 2019 04:50:06 --

Предлагаю обозначать «направление», или знак — компаньон модуля в полярном разложении обратимого кватерниона — как $\hat Q = \operatorname{sgn}Q := Q/|Q|$, и можно также считать $\operatorname{sgn}0 := 0$.

Итак, пусть $V = \exp B = \cos |B| + \hat B \sin |B|$. Тогда $\cos |B| = \operatorname{scal} V$, $\sin |B| = |\operatorname{vec} V|$, так что $|B| = \arctg\frac{|\operatorname{vec} V|}{\operatorname{scal} V}$, и $\hat B = \operatorname{sgn}(\operatorname{vec} V)$, откуда находим весь $B = \hat B |B|$ (но нам это уже не надо, $\hat B$ даcт нам ось поворота, а $2|B|$ — угол). Если же $\operatorname{scal} V = 0$, тогда получится $|B| = \frac{\pi}2$ (то есть угол поворота равен $\pi$) и $\hat B = V$. (На самом деле если подходит $|B| = \alpha$, то подходят и всевозможные $|B| = \alpha + 2\pi m$, от многозначности логарифма не убежишь, но в применениях к поворотам нам достаточно и одного значения.)

-- Пт окт 18, 2019 04:54:14 --

Ещё один corner case: если $\operatorname{vec} V = 0$, получаем угол поворота $2|B| = 2\pi m$, то есть поворота настоящего нет, и неопределённость в оси нам не страшна и даже полагается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 02:59 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1210
arseniiv в сообщении #1421365 писал(а):
Грубо говоря, взять логарифм, потому что версор для поворота вокруг оси, задаваемой единичным вектором $\mathbf n$, на угол $\varphi$, будет $\exp(\mathbf n\varphi/2)$.

Неужели это будет проще, чем просто перемножить два кватерниона? Ладно, у меня был вопрос чисто практического происхождения. Наверное, в такой теме он неуместен, и обсуждать его неинтересно (ну, т.е. мне-то вполне интересно, но - обходился ведь раньше как-то :-) ).

Что же касается подхода, то нужно уточнить, кому адресуется такая методика подачи темы кватернионов? И, в конечном счёте, чем так уж плохо просто постулировать соответствующую алгебру, как это делается для комплексных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 03:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Перемножить — это мы скомпозируем два вращения, а логарифм нужен, чтобы разобрать вращение на ось и угол, как вы спрашивали (как и экспонента чтобы собрать его из них), то есть везде разные цели. :-)

Eule_A в сообщении #1421368 писал(а):
И, в конечном счёте, чем так уж плохо просто постулировать соответствующую алгебру, как это делается для комплексных чисел?
В принципе неплохо, рассказывают же физикам тензоры через наборы координат. Но текущий подход удобен явной сразу бросающейся в глаза инвариантностью: что будет если мы выберем другие векторы в качестве $\mathbf{i,j,k}$? — здесь таких вопросов нет, а если мы введём мнимые единицы, то окажется, что достаточно, чтобы они составляли любой ортонормированный правый базис.

В комплексных числах ситуация немного не такая, из-за того что вектор плоскости уже не запихнёшь в мнимую часть одного числа. Ну, это рукомахательно, на самом деле надо наоборот доказывать, что $\mathbb C$ как векторное пространство и как алгебра «правильно совместимы» так же как подпространство векторных кватернионов и как алгебра их всех. • Как я упоминал, если не ужимать всё в одно множество, алгебра Клиффорда будет различать то и то и представлять их «равномерно» — векторы элементами исходного векторного пространства, повороты же произведениями чётного числа векторов, которые не будут ни при каких условиях совпадать с векторами. И там, если мы отталкиваемся от двумерной евклидовой плоскости, произведения чётного числа векторов заполнят двумерное пространство, где выделены два базиса $\{1, \pm i\}$, это вот наше $\mathbb C$ с точностью до сопряжения, и выбор знака в каком-то смысле выбирает ориентацию плоскости. А если отталкиваться от трёхмерного евклидового пространства, вместо этой подалгебры мы получим изоморфную $\mathbb H$, притом опять единица-то там выделена, а вот какие-то конкретные $i, j, k$ уже совсем нет, выбор ориентации оставит ещё целый континуум вариантов.


Утундрий
Кстати я почему-то только лишь недельку назад узнал про dual quaternions, алгебру, позволяющую вращать и параллельно переносить вещи аналогично позволяющим вращать кватернионам, и даже прямо аналогично тому как матрицы четвёртого порядка используются для этого в компьютерной графике вместо матриц третьего (так что странно что я сам не догадался вообще никак). Попробовали бы потом её ввести так же как здесь?

(Они тоже, разумеется, реализуемы клиффордщиной, но. А ещё их можно представлять как пары из вращения и переноса, выполняемого после него, и с этим смыслом на уме ввести умножение таких пар — сложение же нам не понадобится — но не будет ли сложнее вычислять характеристики преобразования? Подход с парами экономит одно число, так что я не очень понимаю, почему компьютерные графики пошли сразу в дуальные кватернионы. Может, хайп, а может оно например оптимизируется как-то или что.)

-- Пт окт 18, 2019 05:24:49 --

Eule_A
Там выше я не очень понятно с какой целью писал, сейчас выкристаллизовался аргумент за этот подход намного более ясный: это и более явно инвариантная система, чем определённая как гиперкомплексная, с единицами, и притом она проще в работе, чем полновесная алгебра Клиффорда, для которой надо куда больше приготовлений сделать и потом ещё её размерность будет в два раза больше, чем необходимо. То есть это очень-очень хороший компромисс, практически не жертвующий ни инвариантности построений, ни простоты операций и вообще первоначального определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Я ещё вспомнил, что забыл упомянуть и двойные (split) кватернионы $\mathbb H\oplus\mathbb H$, применяющиеся для четырёхмерных вращений как $Q_\ell V Q_r$; их было бы неплохо тоже объяснить подобным образом! (Умножения по отдельности на $Q_\ell, Q_r$ должны давать левое и правое изоклинное вращение, и любое может быть представлено как композиция того и того, но это было бы приятно доказать попрозрачнее; $|Q_\ell| = |Q_r| = 1$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9864
arseniiv в сообщении #1421365 писал(а):
Почему бы не определять так, а текущее определение выводить?
Показалось более естественным сначала соорудить привычную "сумму квадратов", а потом "заметить", что она равна произведению элемента на сопряженный.
arseniiv в сообщении #1421365 писал(а):
Было бы неплохо описать полнее, почему тут возможно только линейное, это не всем может быть быстро ясно.
Честно говоря, не понял о чём здесь речь.
arseniiv в сообщении #1421369 писал(а):
про dual quaternions
Здесь стимул значительно слабее, потому что трансляции прекрасно реализуются обычными векторами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Утундрий в сообщении #1421430 писал(а):
Честно говоря, не понял о чём здесь речь.
Ну, это выражение могло бы оказаться нелинейным по вектору, мне показалось, что в том месте быстро пробежали, и кто-то может не успеть увидеть, что не могло.

Утундрий в сообщении #1421430 писал(а):
Здесь стимул значительно слабее, потому что трансляции прекрасно реализуются обычными векторами.
Да. А вот как насчёт последнего добавления про четырёхмерные вращения парами кватернионов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9864
arseniiv в сообщении #1421446 писал(а):
это выражение могло бы оказаться нелинейным по вектору
Вот этого я и не могу понять. Как оно могло оказаться нелинейным, когда я его изначально взял (из воздуха) уже линейным?
arseniiv в сообщении #1421446 писал(а):
А вот как насчёт последнего добавления про четырёхмерные вращения парами кватернионов?
Ну, поскольку пространственно четырёхмерных объектов вокруг не так чтобы сильно много, это может иметь смысл в каких-то узкоспециальных случаях. В задаче Кеплера, возможно. Я об этом пока не думал.

____________
Что касается кватернионных функций, то они не блещут разнообразием. Действительно, поскольку любой кватернион $A = \alpha  + {\mathbf{a}}$ удовлетворяет тождеству $$A \circ A = 2\alpha A - \left| A \right|^2 $$ постольку любая кватернионнозначная функция кватерниона сводится к линейной функции следующего вида $$F\left( A \right) = f\left( {\alpha ,\left| A \right|} \right) + Ag\left( {\alpha ,\left| A \right|} \right)$$ Впрочем, есть и среди таких функций условно полезные. Например, кватернионная экспонента от чистого вектора
$$\operatorname{Exp} \left( {\mathbf{a}} \right): = 1 + {\mathbf{a}} + \frac{1}{{2!}}{\mathbf{a}} \circ {\mathbf{a}} + \frac{1}
{{3!}}{\mathbf{a}} \circ {\mathbf{a}} \circ {\mathbf{a}} + ...$$ Так как ${\mathbf{a}} \circ {\mathbf{a}} =  - \left| {\mathbf{a}} \right|^2 $, ряд сворачивается до версора $$\operatorname{Exp} \left( {\mathbf{a}} \right) = \cos \left| {\mathbf{a}} \right| + {\mathbf{\hat a}}\sin \left| {\mathbf{a}} \right|$$
Обратную операцию - логарифм - проще всего определить только на версорах. Поскольку для версора $Q = p + {\mathbf{q}}$ вышеупомянутое тождество имеет вид $$Q \circ Q = 2pQ - 1$$ то общий вид логарифма следующий $$\operatorname{Ln} \left( Q \right) = f\left( p \right) + {\mathbf{q}}g\left( p \right)$$ Теперь потребовав $$\operatorname{Ln} \left( {\operatorname{Exp} \left( {\mathbf{a}} \right)} \right) = {\mathbf{a}}$$ получим $$\operatorname{Ln} \left( Q \right) = {\mathbf{q}}\frac{{\arccos p}}{{\sqrt {1 - p^2 } }}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Утундрий в сообщении #1421456 писал(а):
$$\operatorname{Exp} \left( {\mathbf{a}} \right) = \cos \left| {\mathbf{a}} \right| + {\mathbf{a}}\sin \left| {\mathbf{a}} \right|$$
Только там $\hat{\mathbf a}$ перед синусом.

-- Пт окт 18, 2019 22:50:23 --

Заодно спасибо:
Тут я, конечно, как и у вас выше тоже предполагал $\operatorname{scal}B = 0$, но почему-то совершенно не написал об этом, балда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кватернионы на базе векторов
Сообщение18.10.2019, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9864

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1421457 писал(а):
Только там $\hat{\mathbf a}$ перед синусом
Такое случается, когда на бумаге $t {\mathbf{n}}$, а набирая зачем-то решаешь переиначить...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group