Доказательство непрерывности монотонной функции

[asperer]

Пусть функция определена и монотонна на промежутке и множество ее значений - промежуток. Доказать что она непрерывна.
У меня есть идея, что надо сказать, что монотонная функция может иметь точку разрыва первого рода. Тогда, так как по условию она определена на всем отрезке, такой точки тут быть не может. Так ли это? И что делать с дальнейшим доказательством?

Lia: Заголовок приведен в соответствие с содержанием утверждения.

[Otta]

asperer

asperer в сообщении #1421182 писал(а):

И что делать с дальнейшим доказательством?

Не продолжать его.
Доказывайте по определению.

[alcoholist]

asperer в сообщении #1421182 писал(а):

Тогда, так как по условию она определена на всем отрезке, такой точки тут быть не может

может... есть масса всюду определенных разрывных функций

[ewert]

asperer в сообщении #1421182 писал(а):

монотонная функция может иметь точку разрыва первого рода. Тогда, так как по условию она определена на всем отрезке, такой точки тут быть не может. Так ли это?

Наоборот. Такой точки не может быть не потому, что функция определена всюду, а потому, что значения функции заполняют промежуток. И монотонная функция не "может иметь разрывы 1-го рода", а "может иметь разрывы только 1-го рода". Для доказательства этого достаточно.

[Евгений Машеров]

А тут не надо ли "непрерывна или может быть доопределена до непрерывной"?
$\frac {\sin^2 x} x$

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #1421272 писал(а):

А тут не надо ли "непрерывна или может быть доопределена до непрерывной"?

Не надо -- по условию нечего доопределять.

А вот что было бы полезно, так это уточнить, что имелось в виду под словом "промежуток". Справедливость утверждения от этого не зависит, но оно окажется чуть менее расплывчатым.