Единственность записи элементов A[X] в виде f0+..+fnX^n

[praktik_]

В учебнике А.И. Кострикина Введение в алгебру Часть I
В Гл. 5. Комплексные числа и многочлены, 2. Кольцо многочленов, в пункте 1 показывается что элементы кольца многочленов над $A$ - $A[X]$ (то есть последовательности вида $f = (f_0, f_1, ... , f_n, 0, 0, ...)$ представляются в виде записи $f_0 + f_1X + f_2X^2 + ... + f_nX^n$ однозначно.
Однозначность по изложению вытекает из того факта, что последовательность $(f_0, f_1, ... , f_n, 0, 0, ...)$ равна нулю, тогда и только тогда, когда $f_0 = ... = f_n = 0$.

Данный вывод был мне немного непонятен.
Единственное к чему я пришел, что, т.к. нулевой элемент кольца - это единственный элемент, который при умножении на любой другой элемент кольца дает сам себя, то если бы $f = (f_0, f_1, ... , f_n, 0, 0, ...)$ был бы нулевым элементом кольца $A[X]$, а при этом какой то из элементов последовательности (например $f_i$ ) не был бы нулевым элементом кольца A, то тогда мы могли бы умножать $f_0 + f_1X + f_iX^i + ... + f_nX^n$ на ненулевые элементы кольца $A[X]$ и получать другие записи, которые должны быть равны нулю, то есть $f = (f_0, f_1, ... , f_n, 0, 0, ...)$ записывался бы в форме с X-ми неоднозначно.

Правильно ли я понимаю?

[ewert]

praktik_ в сообщении #1420805 писал(а):

нулевой элемент кольца - это единственный элемент, который при умножении на любой другой элемент кольца дает сам себя

Это уже следствие, по определению же нулевой элемент -- это нейтральный элемент по сложению. Ну так цепочка нулей очевидно таковым элементом и является.

[praktik_]

ewert в сообщении #1420806 писал(а):

Ну так цепочка нулей очевидно таковым элементом и является.

Тут вопрос в другом. Я наверное непонятно изложил.

Как именно из утверждения:

Цитата:

Последовательность $(f_0, f_1, ... , f_n, 0, 0, ...)$ равна нулю, тогда и только тогда, когда $f_0 = ... = f_n = 0$.

Вытекает однозначность записи $f = (f_0, f_1, ... , f_n, 0, 0, ...)$ через $f_0 + f_1X + f_2X^2 + ... + f_nX^n$.
В первом сообщении я представил свою цепочку рассуждений.

[ewert]

praktik_ в сообщении #1420812 писал(а):

Вытекает однозначность записи $f = (f_0, f_1, ... , f_n, 0, 0, ...)$ через $f_0 + f_1X + f_2X^2 + ... + f_nX^n$.

Никак -- и не должна вытекать. В том месте $X$ -- лишь некоторый абстрактный элемент, $X^k$ -- пока что лишь некоторое формальное выражение (а вовсе не степень -- алгебраическая интерпретация будет придана позже). Поэтому однозначность соответствия между первым есть по определению.

[Евгений Машеров]

Предположим, что существует иное представление для данного элемента $g_0 + g_1X + g_2X^2 + ... + g_nX^n$ где g не равны f (хотя бы один не равен). Вычтем одно из другого.

(Оффтоп)

Далее Шехерезада прекращает дозволенные речи.

[praktik_]

ewert в сообщении #1420815 писал(а):

Никак -- и не должна вытекать. В том месте $X$ -- лишь некоторый абстрактный элемент, $X^k$ -- пока что лишь некоторое формальное выражение (а вовсе не степень -- алгебраическая интерпретация будет придана позже). Поэтому однозначность соответствия между первым есть по определению

В учебнике перед этим соответствием определяется $X$ как элемент кольца $A[X]$ равный $(0, 1, 0, 0, ...)$. Соответственно $X^n$ находится при помощи операции умножения введенной ранее на кольце $A[X]$ на последовательностях $f = (f_0, f_1, ... , f_n, 0, 0, ...)$.

Евгений Машеров в сообщении #1420817 писал(а):

Предположим, что существует иное представление для данного элемента $g_0 + g_1X + g_2X^2 + ... + g_nX^n$ где g не равны f (хотя бы один не равен). Вычтем одно из другого.

Да действительно. Так сразу очевидно становится.

[Deggial]

praktik_, все формулы и термы, даже однобуквеные, оформляйте $\TeX$ом, или тема поедет в Карантин.
Пока что я сам всё исправил.